Question

15．如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)高h(yuǎn)，半徑為r，可繞通過圓心處的豎直轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)．轉(zhuǎn)臺(tái)的同一半徑上放有質(zhì)量均為m的小物塊A、B（可看成質(zhì)點(diǎn)），A與轉(zhuǎn)軸間距離為$\frac{r}{2}$，B位于轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣處，A、B間用長$\frac{r}{2}$m的細(xì)線相連，A、B與水平轉(zhuǎn)臺(tái)間最大靜摩擦力均為f_m．
（1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到多大時(shí)細(xì)線上出現(xiàn)張力？
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到多大時(shí)A物塊開始滑動(dòng)？
（3）若A物塊恰好將要滑動(dòng)時(shí)細(xì)線斷開，求B物塊落地的水平距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度比較小時(shí)，A、B物塊做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜摩擦力提供，隨著角速度增大，由F_n=mω²r知向心力增大，由于B物塊的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑大于A物塊的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，B物塊的靜摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力，角速度再增大，則細(xì)線上出現(xiàn)張力．以B為研究對(duì)象，由牛頓第二定律求解．
（2）若角速度繼續(xù)增大，A物塊受的靜摩擦力也將達(dá)最大，這時(shí)A物塊開始滑動(dòng)．以A為研究對(duì)象，由牛頓第二定律求解．
（3）若A物塊恰好將要滑動(dòng)時(shí)細(xì)線斷開，此后轉(zhuǎn)臺(tái)保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)B物塊沿切線方向飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解A、B兩物塊間的水平距離．

解答 解：（1）由F_f=mω²r可知隨著角速度增大，向心力增大，由于B物塊的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑大于A物塊的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，B物塊的靜摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力，即B先達(dá)到臨界狀態(tài)，故當(dāng)滿足fm=mω₁²r時(shí)線上出現(xiàn)張力．
解得角速度：ω₁=$\sqrt{\frac{{f}_{m}}{mr}}$．
（2）當(dāng)ω繼續(xù)增大，A受靜摩擦力也達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，A開始滑動(dòng)，設(shè)這時(shí)的角速度為ω₂，
對(duì)A物塊有：f_m-F_T=mω₂²•$\frac{r}{2}$
對(duì)B物塊有：Ffm+F_T=mω₂²r
代入數(shù)據(jù)得角速度為：ω₂=$\sqrt{\frac{4{f}_{m}}{3mr}}$
（3）細(xì)線斷開后，B沿水平切線方向飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，
豎直方向上由 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得平拋的時(shí)間：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
平拋的初速度：v_B=ω₂r
可得B物塊落地的水平距離；x_B=v_Bt=$\sqrt{\frac{8{f}_{m}hr}{3mg}}$
答：
（1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到$\sqrt{\frac{{f}_{m}}{mr}}$時(shí)細(xì)線上出現(xiàn)張力．
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度達(dá)到$\sqrt{\frac{4{f}_{m}}{3mr}}$時(shí)A物塊開始滑動(dòng)．
（3）若A物塊恰好將要滑動(dòng)時(shí)細(xì)線斷開，B物塊落地的水平距離是$\sqrt{\frac{8{f}_{m}hr}{3mg}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是抓住臨界狀態(tài)，隔離物體，正確進(jìn)行受力分析．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究．