Question

9．如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”．它可等效為如圖乙所示的模型：豎直固定的磁性圓軌道半徑為R，質(zhì)量為m的質(zhì)點在軌道外側(cè)做完整的圓周運動，A、B兩點分別為軌道上的最高與最低點．質(zhì)點受軌道的磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．
（1）判斷質(zhì)點運動過程中機械能是否守恒，并說明理由；
（2）若質(zhì)點在A點的速度為$\sqrt{gR}$，求質(zhì)點在該點對軌道的彈力；
（3）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點仍做完整圓周運動，求$\frac{F}{mg}$得最小值．

Answer 1

分析 （1）對質(zhì)點的受力進行分析，根據(jù)做功情況，判定是否滿足機械能守恒；
（2）在A點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對質(zhì)點的彈力，再由牛頓第三定律得到質(zhì)點對軌道的彈力．
（3）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點仍做完整圓周運動，質(zhì)點在B點不脫離軌道即可，當v_A=0，到達B點的速度最小，機械能守恒定律與牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）質(zhì)點運動過程中機械能守恒，因為只有重力做功，所以質(zhì)點的機械能守恒．
（2）設(shè)軌道對質(zhì)點有向上的大小為F_N的彈力．根據(jù)牛頓第二定律得：
F+mg-F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=F
由牛頓第三定律知：質(zhì)點對軌道的彈力大小為F，方向豎直向下．
（3）質(zhì)點在B點不脫離軌道即可，當v_A=0，到達B點的速度最小，機械能守恒定律得：
mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點，有：F_B-mg-F_N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
所以有：F_B=5mg+F_N
當F_N=0時，磁性引力最小，故得：$（\frac{F}{mg}）_{min}$=5
答：（1）質(zhì)點運動過程中機械能是守恒的，因為只有重力做功；
（2）若質(zhì)點在A點的速度為$\sqrt{gR}$，質(zhì)點對軌道的彈力大小為F，方向豎直向下；
（3）若磁性引力大小F可變，質(zhì)點仍做完整圓周運動，$\frac{F}{mg}$得最小值是5．

點評 該題屬于結(jié)合機械能守恒定律考查豎直平面內(nèi)的圓周運動的情況，在解答的過程中正確分析得出小球經(jīng)過最高點和最低點的條件是解答的關(guān)鍵，正確寫出向心力的表達式是解答的基礎(chǔ)．