Question

12．如圖所示，水平軌道與半徑R=0.2m的$\frac{1}{4}$圓弧軌道AB平滑連接，B點正上方有一離B點h=0.05m的旋轉(zhuǎn)平臺，沿平臺直徑方向開有兩個離軸心距離相等的小孔P、Q．一質(zhì)量m₁=0.3kg的小球a在水平軌道上以v₀=5m/s的速度向右運動，與靜止在圓弧軌道最低點A，質(zhì)量m₂=0.2kg的小球b相碰并立即粘在一起，后沿圓弧軌道上升．小孔P、Q的孔徑大于小球a、b結(jié)合體的尺寸，重力加速度g=10m/s²，不計旋轉(zhuǎn)平臺的厚度及各處摩擦．求：
（1）小球a、b結(jié)合體與圓弧軌道A點間的壓力；
（2）若a、b結(jié)合體滑過B點后從P孔上升又恰能從Q孔落下，平臺的轉(zhuǎn)速n應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）a、b碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律可以求出碰撞后的速度，由牛頓第二定律可以求出軌道對滑塊的支持力，然后由牛頓地三定律求出滑塊對軌道的壓力．
（2）滑塊穿過P孔后做豎直上拋運動，滑塊最豎直上拋運動的時間是圓周運動的半周期的奇數(shù)倍，據(jù)此求出轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)速．

解答 解：（1）小球a、b組成的系統(tǒng)碰撞過程系統(tǒng)守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
m₁v₀=（m₁+m₂）v₁，
在A點，由牛頓第二定律得：${F_N}-（{m_1}+{m_2}）g=（{m_1}+{m_2}）\frac{{{v_1}^2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=27.5N，
由牛頓第三定律可知，壓力：F_N′=F_N=27.5N；
（2）設(shè)結(jié)合體能夠上升的最大高度為H，由機(jī)械能守恒定律的：
$\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）{v_1}^2=（{m_1}+{m_2}）gH$，
小球穿過P孔后還可上升：h′=H-R-h，
小球穿過P孔到落回Q孔的時間：$t=2\sqrt{\frac{2h'}{g}}$，
對平臺：2πn•t=（2k+1）π，
解得：$n=\frac{5}{4}（2k+1）$  k=0、1、2、3…；
答：（1）小球a、b結(jié)合體與圓弧軌道A點間的壓力為27.5N；
（2）若a、b結(jié)合體滑過B點后從P孔上升又恰能從Q孔落下，平臺的轉(zhuǎn)速n應(yīng)滿足的條件是$n=\frac{5}{4}（2k+1）$  k=0、1、2、3…．

點評 應(yīng)用動能定理與牛頓運動定律可以求滑塊對軌道的壓力；找出滑塊豎直上拋運動的時間與圓周運動周期間的關(guān)系，是求出圓周運動角速度的關(guān)鍵，本題的易錯點在于平臺轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)速的多解性，注意運動的周期性往往帶來多解性．