Question

8．一宇宙飛船靠近某行星時，繞行星表面做勻速圓周運動，隨后在行星上著陸，為了測定該行星的質(zhì)量，宇航員帶有簡單儀器：秒表、天平、彈簧測力計、水銀氣壓計、質(zhì)量為m的鉤碼．
（1）請為他設(shè)計一個可行性的測量方案，簡述步驟；
（2）導(dǎo)出行星質(zhì)量表達式（引力常量G可作為已知）．

Answer 1

分析 飛船近星球表面飛行的周期，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，著陸后砝碼受到星球的萬有引力與重力相等，由此兩點列方程求解即可．

解答 解：令飛船的質(zhì)量為m₁，星球的半徑為R，質(zhì)量為M，則飛船繞星球表面飛行時，萬有引力提供圓周運動的向心力有：
$G\frac{{m}_{1}M}{{R}^{2}}={m}_{1}R（\frac{2π}{T}）^{2}$
由此得：星球質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
又在星球表面有質(zhì)量為m的砝碼受到星球的引力為F，則：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=F$
得：$R=\sqrt{\frac{GMm}{F}}$
所以$M=\frac{4{π}^{2}}{G{T}^{2}}（\sqrt{\frac{GMm}{F}}）^{3}$
整理得：$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$；
（1）根據(jù)以上的星球的質(zhì)量的表達式可以可知，只需要測量出繞行星表面做勻速圓周運動的周期，和質(zhì)量為m的鉤碼受到星球的引力為F，即可求出該星球的質(zhì)量，所以主要的實驗步驟可以設(shè)計為：
a、在宇宙飛船靠近行星，繞行星表面做勻速圓周運動時，使用秒表測量出環(huán)繞該行星運動的周期；
b、在行星上著陸后，用彈簧測力計測量出質(zhì)量為m的砝碼受到星球的引力為F；
c、根據(jù)公式計算出該行星的質(zhì)量．
（2）行星質(zhì)量表達式為$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$．
答：（1）設(shè)計一個可行性的測量方案為a、在宇宙飛船靠近行星，繞行星表面做勻速圓周運動時，使用秒表測量出環(huán)繞該行星運動的周期；
b、在行星上著陸后，用彈簧測力計測量出質(zhì)量為m的砝碼受到星球的引力為F；
c、根據(jù)公式計算出該行星的質(zhì)量．
（2）行星質(zhì)量表達式為$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$．

點評 該題為開放性的設(shè)計型題目，要抓住：近地飛行軌道半徑等于星球半徑，萬有引力提供向心力，在星球表面重力與萬有引力相等這是解決萬有引力問題的兩個基本入手點．