Question

在豎直面內有一光滑水平直軌道和一光滑半圓形軌道，二者在半圓的一個端點B相切，如圖所示，半圓形軌道的另一端點為C，半徑為R。在直軌道上距離B為x的A點，有一可看作質點的質量為m的小球處于靜止狀態(tài)�，F用水平恒力將小球推到B處后撤去恒力，小球沿半圓軌道運動到C處后又落到水平面上。求：

（1）若小球正好落到出發(fā)點A處，在這種情況下：
①用x和給出的已知量來表達推力對小球所做的功；
②x取何值時，水平恒力做功最小？最小值為多少？
（2）在任意情況下，x取任意值，求小球在B處和C處對軌道的壓力大小之差？

Answer 1

（1）①
②x=2R時，
（2）6mg     

（1）若正好落到出發(fā)點A處，則小球由C到A做平拋運動。
①設小球在C處的速度為v_C，由運動學知識知：
在水平方向上有x=v_Ct                                                                                                  （1分）
在豎直方向上有y=2R=                                                                                        （1分）
對小球從A到C由動能定理得                                          （1分）
聯立解得：，                                                              （1分）
②當W_F有最小值時，小球恰能到達C處（設此時小球的速度為v₀），有    （1分）
又小球仍能落到A處，由v₀²=v_C²可得x=2R                                                                   （2分）
則                                                                                                            （1分）
（2）當小球在B處時，                                                                    （1分）
當小球在C處時，                                                                             （1分）
小球從B到C由機械能守恒得                                           （1分）
由以上三式可得△F=F_B-F_C=6mg                                                                                          （1分）