Question

航天宇航員在月球表面完成了如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在月球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內(nèi)的最低點(diǎn)，放一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，當(dāng)給小球水平初速度v₀時(shí)，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．已知圓形軌道半徑為r，月球的半徑為R．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期T．

Answer 1

分析：（1）小球從圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過(guò)程中，只有月球的引力做負(fù)功，由動(dòng)能定理求得到達(dá)最高點(diǎn)的速度，而此刻速度滿足月亮的引力提u供其沿圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求解

解答：解：（1）設(shè)小球的質(zhì)量為m，月球的質(zhì)量為M，因小球在最高點(diǎn)恰好完成圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)最高點(diǎn)時(shí)小球速度為v，由牛頓第二定律得：
mg=

mv2

r

①
從最低點(diǎn)帶最高點(diǎn)過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
-mg×2r=

1

2

mv²-

1

2

m

v

2 0

②
由①②得g=

v 2 0

5r

   ③
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得
對(duì)衛(wèi)星：

GMm

(2R)2

=m

4π2

T2

×2R   ④
對(duì)小球：

GMm′

R2

=m′g   ⑤
由③④⑤得：T=

4π

v0

10Rr

答：（1）月球表面的重力加速度是

v 2 0

5r

；
（2）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期是

4π

v0

10Rr

．

點(diǎn)評(píng)：掌握在任意星體的表面都有物體的萬(wàn)有引力等于重力這一等式結(jié)合萬(wàn)有引力提供向心力求解．