Question

17．如圖所示，在第一象限內(nèi)，0＜x≤a的區(qū)域中有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B₁；x＞a的區(qū)域中有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，在原點(diǎn)O處有一小孔，一束質(zhì)量為m、電荷量為q帶正電的粒子，沿著x軸方向以不同的速率經(jīng)小孔射入磁場，且速率最大的粒子在0＜x≤a區(qū)域內(nèi)運(yùn)動的時候轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，它最終從x軸離開磁場時速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為30°，不計粒子重力，求：
（1）從y軸離開磁場的粒子，在y軸上的出射點(diǎn)到O點(diǎn)的最大距離；
（2）x＞a區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₂；
（3）在x＞a區(qū)域中所有粒子軌跡的最高點(diǎn)的y坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）打到y(tǒng)軸上的粒子均沿半個圓周運(yùn)動，離O最遠(yuǎn)的粒子軌跡剛好與兩磁場交界線相切，畫出軌跡即可求解；
（2）根據(jù)速度最大的粒子在0＜x≤a中運(yùn)動時間求出其對應(yīng)的圓心角，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，通過x＞a的區(qū)域后，離開磁場時速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為30°，畫出運(yùn)動的軌跡，確定圓心的位置，根據(jù)幾何關(guān)系即可求得軌跡的半徑，然后又半徑公式即可求出；
（3）恰好進(jìn)入x＞a的區(qū)域的粒子向上的位移最大，畫出粒子運(yùn)動軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系最高點(diǎn)的y坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（1）打到y(tǒng)軸上的粒子均沿半個圓周運(yùn)動，離O最遠(yuǎn)的粒子軌跡剛好與兩磁場交界線相切（如圖軌跡①）
則R=a
所以：y_max=2R=2a
（2）速度最大的粒子在0＜x≤a中運(yùn)動的偏轉(zhuǎn)角是60°，其對應(yīng)的圓心角為60°，所以R′=$\frac{a}{sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
通過x＞a的區(qū)域后，最終從x軸離開磁場時速度方向與x軸負(fù)方向的夾角為30°，畫出運(yùn)動的軌跡如圖（如圖軌跡②）
由幾何關(guān)系可知，對應(yīng)的圓心角為210°，
由圖中幾何關(guān)系可得軌跡的半徑：r•co30°+rcos60°=DE，
$DE=R′-R′cos60°=\frac{1}{2}R′=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
所以：$r=\frac{2DE}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{2a}{3+\sqrt{3}}$
由洛倫茲力提供向心力得：$q{v}_{m}•{B}_{1}=\frac{m{v}_{m}^{2}}{R′}$
又$q{v}_{m}•{B}_{2}=\frac{m{v}_{m}^{2}}{r}$
所以：${B}_{2}=（1+\sqrt{3}）{B}_{1}$
（3）恰好穿過x=a的粒子運(yùn)動的方向向上，其軌跡如圖中③．
該粒子在x＜a的范圍內(nèi)的半徑為R，則：$R=\frac{mv}{q{B}_{1}}$
該粒子在x＞a的范圍內(nèi)的半徑為R″，則：$R″=\frac{mv}{q{B}_{2}}$
聯(lián)立得：$R″=\frac{a}{1+\sqrt{3}}$
所以粒子到達(dá)的最高點(diǎn)的高度：${h}_{max}=R+R″=\frac{2+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}a$
當(dāng)粒子的速度最大時，粒子到達(dá)的最高點(diǎn)是所有粒子中最低的，其高度：h_min=R′（1-cos60°）+r（1-cos60°）=$\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}a$
所以，在x＞a區(qū)域中所有粒子軌跡的最高點(diǎn)的y坐標(biāo)的取值范圍是：$\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}a≤y≤\frac{2+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}a$
答：（1）y軸上粒子射出點(diǎn)到原點(diǎn)O的最大距離為2a；
（2）x＞a區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$（1+\sqrt{3}）{B}_{1}$；
（3）在x＞a區(qū)域中所有粒子軌跡的最高點(diǎn)的y坐標(biāo)的取值范圍是$\frac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}a≤y≤\frac{2+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}a$．

點(diǎn)評 該題考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，帶電粒子在磁場中運(yùn)動的題目解題步驟為：定圓心、畫軌跡、求半徑，同時還利用圓弧的對稱性來幫助解題．