Question

3．一位同學(xué)設(shè)計(jì)的測(cè)紙軸轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)原理圖，如圖1所示，測(cè)得紙軸甲、乙的軸（不繞紙帶）半徑均為r，將很薄的紙帶全部繞在紙軸甲上，測(cè)得半徑（含軸）為5r，轉(zhuǎn)動(dòng)紙軸乙，將紙帶向乙轉(zhuǎn)移，某時(shí)刻打開(kāi)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，一小段時(shí)間后關(guān)閉打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，停止甲乙的轉(zhuǎn)動(dòng)，得到如圖2所示的紙帶，AB、BC、CD、DE間的距離分別為S₁、S₂、S₃、S₄．此時(shí)測(cè)得紙軸甲的半徑為3r，打點(diǎn)時(shí)間段內(nèi)水平部分紙帶處于勻加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，紙帶在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終繃緊．打點(diǎn)計(jì)時(shí)器使用的電源頻率為f．回答以下問(wèn)題：
（1）打點(diǎn)時(shí)間內(nèi)紙帶運(yùn)動(dòng)的加速度為$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}-{s}_{1}-{s}_{2}）{f}^{2}}{4}$．
（2）打下D點(diǎn)時(shí)，紙軸甲的角速度為$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}）f}{6r}$，紙軸乙的角速度為$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}）f}{2\sqrt{17}r}$

Answer 1

分析 根據(jù)連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)的位移之差是一恒量求出打點(diǎn)時(shí)間內(nèi)紙帶運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度求出D點(diǎn)的速度，結(jié)合線(xiàn)速度與角速度的關(guān)系求出 紙軸甲、紙軸乙的角速度．

解答 解：（1）根據(jù)${a}_{1}=\frac{{s}_{3}-{s}_{1}}{2{T}^{2}}$，${a}_{2}=\frac{{s}_{4}-{s}_{2}}{2{T}^{2}}$得加速度為：
a=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{2}$=$\frac{{s}_{3}+{s}_{4}-{s}_{1}-{s}_{2}}{4{T}^{2}}$=$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}-{s}_{1}-{s}_{2}）{f}^{2}}{4}$．
（2）D點(diǎn)的瞬時(shí)速度為：${v}_{D}=\frac{{s}_{3}+{s}_{4}}{2T}$=$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}）f}{2}$．
開(kāi)始紙軸甲的半徑為5r，紙軸乙的半徑為r，根據(jù)面積關(guān)系有：π•（5r）²-π（3r）²=πr′²-πr²，解得r′=$\sqrt{17}r$，當(dāng)甲的半徑為3r時(shí)，乙的半徑為$\sqrt{17}$r，則紙軸甲角速度為：ω_甲=$\frac{{v}_{D}}{3r}=\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}）f}{6r}$，
紙軸乙的角速度為：${ω}_{乙}=\frac{{v}_{D}}{r′}$=$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}）f}{2\sqrt{17}r}$．
故答案為：（1）$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}-{s}_{1}-{s}_{2}）{f}^{2}}{4}$，（2）$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}）f}{6r}$，$\frac{（{s}_{3}+{s}_{4}）f}{2\sqrt{17}r}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握紙帶的處理方法，會(huì)通過(guò)紙帶求解瞬時(shí)速度和加速度，關(guān)鍵是勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)推論的運(yùn)用．