Question

（2009?廣州三模）如圖所示，間距為L(zhǎng)，電阻不計(jì)的兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ（足夠長(zhǎng)）被固定在同一水平面內(nèi)，質(zhì)量均為m，電阻均為R的兩根相同導(dǎo)體棒a、b垂直于導(dǎo)軌放在導(dǎo)軌上，一根輕繩繞過(guò)定滑輪后沿兩金屬導(dǎo)軌的中線與a棒連連，其下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為M的物體C，整個(gè)裝置放在方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，開(kāi)始時(shí)使a、b、C都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)釋放C，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，C的速度為v₁，b的速度為v₂．不計(jì)一切摩擦，兩棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，重力加速度為g，求：
（1）t時(shí)刻a棒兩端的電壓
（2）t時(shí)刻C的加速度值
（3）t時(shí)刻a、b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總電功率．

Answer 1

分析：（1）由法拉第定律、歐姆定律回路中感應(yīng)電流I，a棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E_a=BLv₁，a棒兩端電壓為U=E_a-IR．
（2）由F=BIL求出棒a所受的安培力大小，根據(jù)牛頓第二定律分別研究棒a和C物體，可求解加速度．
（3）單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉(zhuǎn)化為b棒的動(dòng)能．根據(jù)能量守恒求解閉合回路消耗的總電功率．

解答：解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，t時(shí)刻回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=

△φ

△t

=BL(v1-v2)  ①
回路中感應(yīng)電流：I=

E

2R

=

BL(v1-v2)

2R

  ②
a棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E_a=BLv₁ ③
a棒兩端電壓：U=E_a-IR  ④
聯(lián)立②③④解得：U=

BL(v1+v2)

2

（2）對(duì)a有，T-BIL=ma ⑤
對(duì)C有，Mg-T=Ma  ⑥
聯(lián)立②⑤⑥以上各式解得：a=

2MgR-B2L2(v1-v2)

2R(M+m)

（3）解法一：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉(zhuǎn)化為b棒的動(dòng)能，所以，t時(shí)刻閉合回路的電功率等于a棒克服安培力做功的功率，即 P=BILv₁⑦
聯(lián)立②⑦解得：P=

B2L2(v1-v2)v1

2R

解法二：a棒可等效為發(fā)電機(jī)，b棒等效為電動(dòng)機(jī)，則  
A棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E_a=BLv₁⑧
閉合回路消耗的總電功率為：P=IE_a…⑨
聯(lián)立②⑧⑨解得：P=BILv1=

B2L2(v1-v2)v1

2R

解法三：閉合回路消耗的熱功率為：P=I2?2R=

B2L2(v1-v2)2

2R

…⑩
B棒的機(jī)械功率為：P機(jī)=BILv2=

B2L2(v1-v2)v2

2R

…（11）
故閉合回路消耗的總電功率為：P=P熱+P機(jī)=

B2L2(v1-v2)v1

2R

答：
（1）t時(shí)刻a棒兩端的電壓是

BL(v1-v2)

2

．
（2）t時(shí)刻C的加速度值是

2MgR-B2L2(v1-v2)

2R(M+m)

．
（3）t時(shí)刻a、b與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總電功率是

B2L2(v1-v2)v1

2R

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了法拉第電磁感應(yīng)定律以及電磁感應(yīng)中的能量守恒．關(guān)鍵理清導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的定律進(jìn)行求解．