Question

12．“拋石機(jī)”處古代戰(zhàn)爭中常用的一種設(shè)備，其裝置簡化原理如圖所示．“拋石機(jī)”長臂的長度L=4.8m，短臂的長度l=0.6m．在某次攻城戰(zhàn)中，敵人城墻高度H=12m．士兵們?yōu)榱四軐⑹瘔K投入敵人城中，在敵人城外堆出了高h(yuǎn)=8m的小土丘，在小土丘上使用“拋石機(jī)”對敵人進(jìn)行攻擊．士兵將質(zhì)量m=10.0kg的石塊裝在長臂末端的彈框中．開始時(shí)長臂處于靜止?fàn)顟B(tài)，與底面夾角α=30°．現(xiàn)對短臂施力，當(dāng)長臂轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，石塊坡水平拋出且恰好擊中城墻正面與小土丘等高的P點(diǎn)，P點(diǎn)與拋出位置間的水平距離x=19.2m．不計(jì)空氣阻力，重力加速度取g=10m/s²，求：
（1）石塊剛被拋出時(shí)短臂末端的速度大小v；
（2）石塊轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)對彈框的作用力；
（3）若城墻上端的寬度為d=3.2m．石塊拋出時(shí)速度多大可以擊中敵人城墻頂部．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合水平位移和時(shí)間求出石塊平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，抓住長臂和短臂的角速度相等，求出石塊剛被拋出時(shí)短臂末端的速度大小v；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出石塊轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)對彈框的作用力；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合水平位移范圍求出初速度的范圍．

解答 解：（1）石塊拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)L+Lsinα=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2（L+Lsinα）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（4.8+2.4）}{10}}s=1.2s$，
則石塊拋出時(shí)的速度${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{19.2}{1.2}m/s=16m/s$，
長臂和短臂的角速度相同，有：$\frac{{v}_{0}}{L}=\frac{v}{l}$，代入數(shù)據(jù)解得v=2m/s．
（2）最高點(diǎn)時(shí)假設(shè)時(shí)刻受到布袋的力向下，
根據(jù)牛頓第二定律得，$F+mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，
解得F=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}-mg=10×\frac{1{6}^{2}}{4.8}-100N$=433N．
根據(jù)牛頓第三定律知，石塊轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)對彈框的作用力為433N．
（3）擊中城墻頂部時(shí)，根據(jù)h+L+Lsinα-H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，代入數(shù)據(jù)解得t=0.8s，
擊中城墻頂部的水平位移x₀≤x≤（x₀+d），
拋出時(shí)初速度$v=\frac{x}{t}$，
代入數(shù)據(jù)解得24m/s≤v≤28m/s．
答：（1）石塊剛被拋出時(shí)短臂末端的速度大小v為2m/s；
（2）石塊轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)對彈框的作用力為433N；
（3）石塊拋出時(shí)速度為24m/s≤v≤28m/s，可以擊中敵人城墻頂部．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．