Question

1．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互間引力的作用下，分別繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為M，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則該雙星系統(tǒng)的質(zhì)量變?yōu)椋ā　。?table class="qanwser">A．$\sqrt{\frac{k}{n}}M$B．$\frac{{n}^{3}}{{k}^{2}}M$C．$\frac{n}{k}M$D．$\frac{{n}^{3}}{{k}^{3}}M$

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式，分別對(duì)兩星進(jìn)行列式，求解出總質(zhì)量的表達(dá)式進(jìn)行分析．

解答 解：設(shè)m₁的軌道半徑為R₁，m₂的軌道半徑為R₂．兩星之間的距離為L(zhǎng)．
由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時(shí)角速度和周期也都相同．
由向心力公式可得：對(duì)m₁：$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{R_1}$…①
對(duì)m₂：$\frac{{G{m_1}{m_2}}}{L^2}={m_2}\frac{{4{π^2}}}{T^2}{R_2}$…②
又因?yàn)镽₁+R₂=L，m₁+m₂=M
由①②式可得：M=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$
經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，故：
M′=$\frac{4{π}^{2}{{n}^{3}L}^{3}}{G{{k}^{2}T}^{2}}$
故M′=$\frac{{n}^{3}}{{k}^{2}}M$
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度，能運(yùn)用萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行解題．