Question

6．如圖甲所示，平行于光滑斜面的輕彈簧勁度系數(shù)為k，一端固定在傾角為θ的斜面底端，另一端與物塊A連接、兩物塊A、B質(zhì)量均為m，初始時均靜止，現(xiàn)用平行于斜面向上的力F拉動物塊B，使B做加速度為α的勻加速直線運動，A、B兩物塊在開始一段時間內(nèi)的v-t關(guān)系分別對應(yīng)圖乙中A、B圖線，t₀時刻A、B的圖線相切，2t₀時刻物塊A達到最大速度v，重力加速度為g．試求：
（1）t₀時刻彈簧的壓縮量x₁；
（2）2t₀時刻物塊A與物塊B之間的距離S；
（3）在t₀到2t₀時間內(nèi)，彈簧彈力所做的功W．

Answer 1

分析 （1）由圖乙知，在0-t₀時間內(nèi)AB一起勻加速上滑，由位移公式求出位移，由胡克定律求出AB均靜止時彈簧的壓縮量，從而根據(jù)幾何關(guān)系求出t₀時刻彈簧的壓縮量x₁；
（2）2t₀時刻物塊A達到最大速度v時，合力為零，由胡克定律和平衡條件求出此時彈簧的壓縮量，由位移公式求出B的位移，即可求得2t₀時刻物塊A與物塊B之間的距離S；
（3）在t₀到2t₀時間內(nèi)，彈簧彈力所做的功W由動能定理求解．

解答 解：（1）AB均靜止時彈簧的壓縮量 x₀=$\frac{2mgsinθ}{k}$
在0-t₀時間內(nèi)AB一起勻加速上滑，通過的位移為 x=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
故t₀時刻彈簧的壓縮量 x₁=x₀-x=$\frac{2mgsinθ}{k}$-$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$．
（2）2t₀時刻物塊A達到最大速度v時，合力為零，此時彈簧的壓縮量為 x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$
2t₀時間內(nèi)B的位移為 x_B=$\frac{1}{2}a（2{t}_{0}）^{2}$=2a${t}_{0}^{2}$
故2t₀時刻物塊A與物塊B之間的距離 S=x_B-（x₀-x₂）=2a${t}_{0}^{2}$-$\frac{mgsinθ}{k}$
（3）t₀時刻物塊AB的速度為 v′=at₀．
在t₀到2t₀時間內(nèi)，B上滑的位移 x_B′=x₁-x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$-$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
對B，由動能定理得：W-mgsinθx_B′=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
可得彈簧彈力所做的功 W=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{k}$-$\frac{1}{2}mga{t}_{0}^{2}sinθ$+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{a}^{2}{t}_{0}^{2}$
答：
（1）t₀時刻彈簧的壓縮量x₁是$\frac{2mgsinθ}{k}$-$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$．
（2）2t₀時刻物塊A與物塊B之間的距離S是2a${t}_{0}^{2}$-$\frac{mgsinθ}{k}$．
（3）在t₀到2t₀時間內(nèi)，彈簧彈力所做的功W是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{k}$-$\frac{1}{2}mga{t}_{0}^{2}sinθ$+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{a}^{2}{t}_{0}^{2}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要正確分析物體的位移與彈簧形變量之間的幾何關(guān)系，知道B速度最大的條件，再運用胡克定律、動力學規(guī)律結(jié)合研究．