Question

16．如圖所示，傾角為θ=37°的斜坡底端有一寬為L(zhǎng)=18m的水平粗糙地面，右側(cè)為一寬為d=6m的壕溝，壕溝兩側(cè)水平地面的高度差為h=0.8m．在晴天時(shí)，一輛車（視為質(zhì)點(diǎn)）在斜坡頂端關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)以初速度v=12m/s下滑，恰好能停在壕溝前．車的質(zhì)量為m=2t，車與斜坡及水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ₀=0.5，車經(jīng)過(guò)斜坡和水平地面交界處時(shí)無(wú)能量損失．已知重力加速度為g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．

（1）求斜坡的長(zhǎng)度．
（2）某次雨后，車與斜坡及水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)棣?0.25，若車仍以原來(lái)初速度從斜坡頂端下滑，車能否越過(guò)壕溝？若能，求出車的落點(diǎn)到壕溝的距離；若不能，求車需要額外以恒定功率P=50kW運(yùn)行的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理求出斜坡與水平面的高度，從而得出斜坡的長(zhǎng)度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出車到達(dá)壕溝邊緣的速度大小，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，通過(guò)水平位移判斷能否越過(guò)壕溝．根據(jù)壕溝的寬度求出越過(guò)壕溝的最小速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出車需要額外以恒定功率P=50kW運(yùn)行的最短時(shí)間．

解答 解：（1）對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理得，mgH-$μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}-μmgL=0$$-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得H=5.4m，
則斜坡的長(zhǎng)度$s=\frac{H}{sinθ}=\frac{5.4}{0.6}m=9m$．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得，mgH-$μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}-μmgL=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v′=11.2m/s，
根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
因?yàn)関′t＜d，可知車不能越過(guò)壕溝，
越過(guò)壕溝的最小速度${v}_{min}=\frac91yhmrr{t}=\frac{6}{0.4}m/s=15m/s$，
根據(jù)動(dòng)能定理得，Pt+$mgH-μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}-μmgL$=$\frac{1}{2}m{{v}_{min}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得t=1.98s．
答：（1）斜坡的長(zhǎng)度為9m．
（2）車不能越過(guò)壕溝，車需要額外以恒定功率P=50kW運(yùn)行的最短時(shí)間為1.98s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和功率與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，運(yùn)用動(dòng)能定理解題關(guān)鍵選擇好研究的過(guò)程，分析過(guò)程中有哪些力做功，然后列式求解．對(duì)于第二問，求出越過(guò)壕溝的最小速度是關(guān)鍵．