Question

3．如圖所示，平行斜導軌吻接平行水平導軌，光滑且電阻不計．水平部分有豎直向上的勻強磁場穿過，B=2.0T，導軌間距L=0.5m．導體棒CD的質(zhì)量為0.1Kg，電阻為0.2Ω，靜放在水平導軌上．導體棒AB的質(zhì)量為0.2Kg，電阻為0.3Ω，從高為0.45m的斜導軌上由靜止滑下．求：
①AB棒剛進入磁場時的速度v₀，加速度a₀₁及這時CD棒的加速度a₀₂．
②以后AB、CD的速度加速度分別如何變化．
③若AB不與CD相碰撞，導軌足夠長，則最后AB、CD作什么運動，速度分別多大．
④整個過程中，在AB、CD棒上發(fā)出的熱量各為多少？

Answer 1

分析 ①AB棒沿光滑導軌下滑的過程中，機械能守恒，可求出AB棒剛進入磁場時的速度v₀．進入磁場后，AB棒切割磁感線，產(chǎn)生感應電流，受到安培力，根據(jù)牛頓第二定律求出兩棒的加速度．
②、③分析兩棒的運動情況：AB棒進入磁場后，回路中產(chǎn)生感應電流，受到向左的安培力作用而做減速運動，CD棒由于受到向右的安培力作用而向右做加速運動，隨著CD棒向右運動切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，回路中感應電動勢減小，感應電流減小，兩棒所受的安培力減小，當兩棒的速度相等時，回路中沒有感應電流，兩棒不再受到安培力而均做勻速運動．對于兩棒組成的系統(tǒng)，合外力為零，根據(jù)動量守恒定律求解最后兩棒運動的速度．
④根據(jù)能量守恒定律求解回路中產(chǎn)生的總熱量，由焦耳定律得到兩棒上發(fā)出的熱量．

解答 解：①AB棒在斜導軌下滑的過程，根據(jù)機械能守恒得
 mgh=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得，v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.45}$=3m/s
設導體棒CD的質(zhì)量為m₂=0.1Kg，電阻為R₂=0.2Ω，導體棒AB的質(zhì)量為m₁=0.2Kg，電阻為R₁=0.3Ω．
進入磁場后，AB棒切割磁感線，產(chǎn)生感應電動勢為 E=BLv₀，感應電流為 I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
AB所受的安培力大小為 F=BIL，則有 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
AB棒剛進入磁場時的加速度大小為 a₀₁=$\frac{F}{{m}_{1}}$
聯(lián)立解得，a₀=30m/s²．方向向左．
CD棒的加速度大小為 a₀₂=$\frac{F}{{m}_{2}}$=60m/s²，方向向右．
②兩棒加速度都逐漸減小，最后加速度都為零，做勻速直線運動．
③AB棒進入磁場后，AB和CD組成的系統(tǒng)動量守恒，則有
  m₁v₀=（m₁+m₂）v
得v=2m/s，方向都是向右
④根據(jù)能量守恒定律得
 mgh=Q+$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
由焦耳定律得知AB棒上發(fā)出的熱量為  Q_AB=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q，CD棒上發(fā)出的熱量Q_CD=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q
聯(lián)立代入解得 Q_AB=0.18J，Q_CD=0.12J
答：
①AB棒剛進入磁場時的速度v₀為3m/s．加速度a₀₁是30m/s²，方向向左．CD棒的加速度a₀₂為60m/s²，方向向右．
②兩棒加速度都逐漸減小，最后加速度都為零，做勻速直線運動．
③最后兩根都作勻速運動，速度大小都是2m/s，方向都是向右．
④整個過程中，在AB、CD棒上發(fā)出的熱量各為0.18J和0.12J．

點評 本題雙桿在軌道上滑動的類型，根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒和能量守恒研究，類似于非彈性碰撞，用類比的方法容易理解．