Question

8．如圖所示，截面為直角三角形的斜面體固定在水平地面上，兩斜面光滑，斜面傾角分別為60°和30°，一條不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過固定在斜面頂端的光滑定滑輪連接著兩個(gè)小物體，物體B的質(zhì)量為m，起始距地面的高度均為$\sqrt{3}$h，重力加速度為g．
（1）若A的質(zhì)量也為m，由靜止同時(shí)釋放兩物體，求當(dāng)A剛到地面時(shí)的速度大��；
（2）若斜面體不固定，當(dāng)斜面體在外力作用下以大小為a的加速度水平向右做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，要使A、B兩物體相對(duì)斜面都不動(dòng)，分析物體A的質(zhì)量和加速度a的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）同時(shí)釋放兩物體，由于斜面光滑，兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，即可根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解A剛到地面時(shí)的速度大�。�
（2）要使A、B兩物體相對(duì)斜面都不動(dòng)，加速度相同，斜面可能向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，也可能向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，分兩種情況，分別對(duì)A、B兩個(gè)物體，運(yùn)用牛頓第二定律列式，即可解答．

解答 解：（1）設(shè)A剛落地時(shí)的速度為v，由A和B運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能守恒得，
  mgh=mgsin30°$\frac{h}{sin60°}$+$\frac{1}{2}$×2mv²             
得：v=$\sqrt{（1+\frac{\sqrt{3}}{3}）gh}$
（2）對(duì)兩個(gè)物體分別進(jìn)行受力分析，沿垂直斜面和平行斜面方向建立坐標(biāo)系進(jìn)行正交分解，
當(dāng)斜面體向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度方向水平向右：
對(duì)A物體：T-m_Agsin60°=m_Aacos60°
對(duì)B物體：mgsin30°-T=macos30°
解得：m_A=$\frac{mg-\sqrt{3}ma}{\sqrt{3}g+a}$
由等式右側(cè)的分子得，加速度的大小應(yīng)滿足 0＜$a＜\frac{\sqrt{3}}{3}g$
加速度a越大，A物體的質(zhì)量越小，A物體質(zhì)量應(yīng)滿足 0＜m_A$＜\frac{\sqrt{3}}{3}mg$．                 
當(dāng)斜面體向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度方向水平向左：
對(duì)A物體：m_Agsin60°-T=m_Aacos60°
對(duì)B物體：T-mgsin30°=macos30°
解得：m_A=$\frac{mg+\sqrt{3}ma}{\sqrt{3}g-a}$
由等式右側(cè)的分母得，加速度的大小應(yīng)滿足 0＜$a＜\sqrt{3}g$
加速度a越大，A物體的質(zhì)量越大，A物體質(zhì)量應(yīng)滿足 m_A$＞\frac{\sqrt{3}}{3}mg$．
答：
（1）當(dāng)A剛到地面時(shí)的速度大小為$\sqrt{（1+\frac{\sqrt{3}}{3}）gh}$；
（2）當(dāng)斜面體向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A的質(zhì)量和加速度a的關(guān)系為m_A=$\frac{mg-\sqrt{3}ma}{\sqrt{3}g+a}$，（0＜$a＜\frac{\sqrt{3}}{3}g$）0＜m_A$＜\frac{\sqrt{3}}{3}mg$
當(dāng)斜面體向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A的質(zhì)量和加速度a的關(guān)系為m_A=$\frac{mg+\sqrt{3}ma}{\sqrt{3}g-a}$，0＜$a＜\sqrt{3}g$，m_A$＞\frac{\sqrt{3}}{3}mg$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于連接體問題，常常有兩種方法研究：一是機(jī)械能守恒；二是牛頓第二定律．本題采用隔離法由牛頓第二定律解答加速度問題，分析時(shí)要抓住兩個(gè)物體之間的聯(lián)系，比如加速度相同，繩子拉力大小相等．