Question

10．如圖所示，質(zhì)量為m小球，由長為l的細(xì)線系住，細(xì)線另一端固定在A點(diǎn)，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，已知線能承受的最大拉力是9mg．現(xiàn)將小球拉直水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，忽略空氣阻力，不計(jì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失．
求：（1）若小球繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)在最低點(diǎn)時(shí)線恰好達(dá)最大拉力，則圓周的半徑為多大；
（2）釘子位置在水平線上的取值范圍．

Answer 1

分析 首先分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，碰釘子后的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小越容易滿足條件；根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律分別列式后聯(lián)立求解出臨界半徑．
（1）利用最大拉力，求半徑；（2）據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)的臨界條件求即可．

解答 解：當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí)，繩受到的最大拉力為F，此時(shí)小球的速度為v₁，由牛頓第二定律有：
F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
結(jié)合F=9mg可得：
$\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$=8mg
于由機(jī)械能守恒定律可得：
mg（$\frac{l}{2}$+r₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：r₁=$\frac{l}{6}$
（2）懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
r1=l-AD=l-$\sqrt{{x}_{1}^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}$
聯(lián)立解得：x1=$\frac{2}{3}l$
設(shè)釘子在G點(diǎn)時(shí)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓的最高點(diǎn)，
在最高點(diǎn)：mg=$\frac{m{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$                 
由機(jī)械能守恒定律得：mg （$\frac{l}{2}-$r₂）=$\frac{1}{2}$mv₂²        
設(shè)EG=x₂，r₂=l-$\sqrt{{x}_{2}^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}$
得：x₂=$\frac{{\sqrt{7}}}{6}$l                               
在水平線上EF上釘子的位置范圍是：$\frac{{\sqrt{7}}}{6}$l≤x≤$\frac{2}{3}$l  
答：：（1）若小球繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)在最低點(diǎn)時(shí)線恰好達(dá)最大拉力，則圓周的半徑為$\frac{l}{6}$；
（2）釘子位置在水平線上的取值范圍是：$\frac{{\sqrt{7}}}{6}$l≤x≤$\frac{2}{3}$l．

點(diǎn)評 本題考查牛頓第二定律及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，關(guān)鍵找出臨界關(guān)系，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律列式后聯(lián)立求解．