Question

2．如圖，光滑絕緣的水平面上一個(gè)倒放的“曰”字型導(dǎo)線框，四周abfe為正方形，每邊長(zhǎng)度為l，中間的導(dǎo)線cd距離右側(cè)邊ab的距離為$\frac{2}{3}$l．上下橫邊ae、bf不計(jì)電阻，每條豎直邊ab、cd、ef的電阻都是R．虛線右側(cè)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)邊界與導(dǎo)線框的豎邊平行．現(xiàn)在讓導(dǎo)線框以速度v₀勻速垂直進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域．忽略一切阻力．試分析：

（1）導(dǎo)線框勻速進(jìn)入磁場(chǎng)過程中所需外力的情況，并計(jì)算所需外力的大小和方向；
（2）線框勻速進(jìn)入過程中電路中產(chǎn)生的焦耳熱Q
（3）分析、計(jì)算線框勻速進(jìn)入磁場(chǎng)過程中ef邊消耗的電功率多大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式求出電動(dòng)勢(shì)的大小，結(jié)合串并聯(lián)電路的特點(diǎn)求出總電阻，結(jié)合歐姆定律以及安培力公式求出外力F的大�。�
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)過程中，外力克服安培力做的功大小等于線框中產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求出電路中產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）根據(jù)電流的大小，結(jié)合功率公式求出線框勻速進(jìn)入磁場(chǎng)過程中ef邊消耗的電功率．

解答 解：（1）ab邊切割磁感線時(shí)：E=BLv₀，…①
電路總電阻為：R_總=$\frac{3R}{2}$．
總電流為：I_ab=$\frac{E}{{R}_{總}}$…②
ab邊受到安培力大�。�${F_安}=BIl=\frac{{2{B^2}{l^2}{v_0}}}{3R}$…③，方向向左
勻速運(yùn)動(dòng)，外力與安培力等大反向：${F_外}=\frac{{2{B^2}{l^2}{v_0}}}{3R}$，…④，方向向右
ab、cd兩個(gè)邊都進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，同時(shí)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，并聯(lián)的電動(dòng)勢(shì)仍為E，電源內(nèi)阻變?yōu)?\frac{R}{2}$，外電阻變?yōu)镽…⑤
根據(jù)①②式導(dǎo)線框中的總電流強(qiáng)度不變．a(chǎn)b、cd兩邊中電流強(qiáng)度分別為：$I'=\frac{I}{2}$=$\frac{{Bl{v_0}}}{3R}$…⑥
ab、cd邊受到安培力大小相等，總值：${F'_安}=2BI'l=2B\frac{I}{2}l=\frac{{2{B^2}{l^2}{v_0}}}{3R}$…⑦，方向向左
根據(jù)④式可知，${F'_外}=\frac{{2{B^2}{l^2}{v_0}}}{3R}$，…⑧，方向向右
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)過程中，外力克服安培力做的功大小等于線框中產(chǎn)生的焦耳熱：$Q={F_外}\frac{2l}{3}+{F'_外}\frac{l}{3}$=$\frac{{2{B^2}{l^3}{v_0}}}{3R}$…⑨
（3）只有ab邊進(jìn)入時(shí)，根據(jù)①②式，ef邊中電流強(qiáng)度：${I_1}=\frac{I}{2}$=$\frac{{Bl{v_0}}}{3R}$…⑩
ef邊消耗電功率：${p_1}=I_1^2•R$=$\frac{{{B^2}{l^2}v_0^2}}{9R}$，
ab、cd兩個(gè)邊都進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)①②式，ef邊中電流強(qiáng)度為I₂=I．
ef邊消耗電功率：${p_2}=I_{\;}^2•R$=$\frac{{4{B^2}{l^2}v_0^2}}{9R}$．
答：（1）ab邊切割時(shí)，以及ab、cd邊切割時(shí)，所需外力的大小均為$\frac{2{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{3R}$，方向向右．
（2）線框勻速進(jìn)入過程中電路中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{{2{B^2}{l^3}{v_0}}}{3R}$．
（3）ab邊切割時(shí)，ef邊消耗的電功率為$\frac{{{B^2}{l^2}v_0^2}}{9R}$，ab、cd邊都切割時(shí)，ef邊消耗的電功率為$\frac{{4{B^2}{l^2}v_0^2}}{9R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)和能量的綜合運(yùn)用，知道外力克服安培力做功等于線框產(chǎn)生的焦耳熱，求解外力和消耗的功率時(shí)，需分情況討論，即ab邊切割，以及ab、cd邊切割．