Question

17．如圖a所示的平面坐標(biāo)系xOy，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)充滿(mǎn)了勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖b所示，開(kāi)始時(shí)刻，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里（如圖）．t=0時(shí)刻，有一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)，初速度為v₀=2×10³m/s．已知正粒子的比荷為1.0×10⁴C/kg，其它有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)圖中標(biāo)示（磁感應(yīng)強(qiáng)度B取垂直紙面向里為正）．試求：

（1）t=$\frac{4π}{3}$×10^-4s時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)．
（2）粒子從開(kāi)始時(shí)刻起經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第一次到達(dá)y軸．
（3）粒子是否還可以返回坐標(biāo)原點(diǎn)O？如果可以，則經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第一次返回坐標(biāo)原點(diǎn)O？

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力可以得到軌道半徑，由軌道半徑可得周期，由磁場(chǎng)的變化可以畫(huà)出在第一段時(shí)間內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系可得到粒子的坐標(biāo)．
（2）依據(jù)第一問(wèn)得到的結(jié)果，可以得到在第二，第三時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖可知粒子恰好在第三段時(shí)間末到達(dá)y軸，由此可得時(shí)間
（3）依據(jù)磁場(chǎng)變化的周期性，可知粒子的運(yùn)動(dòng)也存在對(duì)應(yīng)的周期性，可做粒子的軌跡圖，由圖可知其返回的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，周期為T(mén)，由洛侖茲力提供向心力，
有qvB=$m\frac{v2}{R}$ 得：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2×103×10-4}{0.5}$=0.4m
   又T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π×10-4}{0.5}$=4π×10^-4s
在磁場(chǎng)變化的第一段時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為：N=$\frac{1}{3}$（個(gè)運(yùn)動(dòng)周期）運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．第一段時(shí)間末，粒子的坐標(biāo)為：
x=Rcos30°=0.2$\sqrt{3}$m，y=R+$\overline{{O}_{1}A}$sin30°=0.6m
所求時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)（0.2$\sqrt{3}$m，0.6m） 
（2）根據(jù)第（1）問(wèn)可知，粒子在第一個(gè)磁場(chǎng)變化的時(shí)間段內(nèi)時(shí)，運(yùn)動(dòng)了N₁=$\frac{1}{3}$個(gè)周期，在第二個(gè)時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為N₂=$\frac{1}{6}$（個(gè)周期） 
所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓心角為60°．運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

第三個(gè)時(shí)間段內(nèi)同樣運(yùn)動(dòng)了：N₃=$\frac{1}{3}$（個(gè)周期），
對(duì)應(yīng)的圓心角為120°粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，粒子恰好在第三段時(shí)間末通過(guò)y軸故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=$\frac{π}{3}$×10^-3s s  
（3）粒子在磁場(chǎng)中作周期性運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和周期性，畫(huà)出粒子的部分運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，其中O₂、O₆、O₁₀構(gòu)成一個(gè)正三邊形．
故粒子在磁場(chǎng)中一共運(yùn)動(dòng)了6個(gè)大圓弧和6個(gè)小圓弧，故從原點(diǎn)出發(fā)到回到原點(diǎn)的總時(shí)間為t'=6×$\frac{4π}{3}$×10^-4s+6×$\frac{2π}{3}$×10^-4s=12π×10^-4s  
答：（1）t=$\frac{4π}{3}$×10^-4s時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)（0.2$\sqrt{3}$m，0.6m）．
（2）粒子從開(kāi)始時(shí)刻起經(jīng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為為$\frac{π}{3}$×10^-3s 到達(dá)y軸．
（3）粒子可以返回原點(diǎn)，所經(jīng)歷的時(shí)間為12π×10^-4s

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)是對(duì)磁場(chǎng)周期性的應(yīng)用，磁場(chǎng)的周期性一定就會(huì)由粒子運(yùn)動(dòng)周期性的變化，故只要得到一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以重復(fù)畫(huà)軌跡，直到得到想要的結(jié)果．本題由于粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡比較復(fù)雜，故考察的難度相對(duì)較大．