Question

13．如圖所示，將輕繩一端拴著一個(gè)小球，另一端固定在天花板O′點(diǎn)，現(xiàn)使輕繩偏離豎直方向α角后，從A處無(wú)初速度釋放小球． 已知輕繩長(zhǎng)度為2L，小球質(zhì)量為m．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．試求：
（1）小球擺到最低點(diǎn)O時(shí)的速度；
（2）小球擺到左方最高點(diǎn)的高度（相對(duì)最低點(diǎn)）；
（3）若在懸點(diǎn)正下方P處有一釘子，O與P之間的距離h=$\frac{2}{5}$L，小球仍從A處由靜止釋放，輕繩碰到釘子后小球繞釘子恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不計(jì)碰撞過(guò)程中的能量損失），則輕繩與豎直方向的夾角α為多大？

Answer 1

分析 （1）小球擺動(dòng)過(guò)程中，受到重力和拉力，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解小球擺到最低點(diǎn)O時(shí)的速度；
（2）再由機(jī)械能守恒定律求小球擺到左方最高點(diǎn)的高度．
（3）小球繞釘子恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，據(jù)牛頓第二定律列式求出小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒定律列式求解輕繩與豎直方向的夾角α．

解答 解：（1）小球從A到O過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
mg•2L（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²；
則得 v=2$\sqrt{gL（1-cosα）}$
（2）設(shè)小球擺到左方最高點(diǎn)的高度為h．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgh=mg•2L（1-cosα）
則得：h=2L（1-cosα）
（3）小球繞釘子恰好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{v{′}^{2}}{\frac{2}{5}L}$
再由機(jī)械能守恒定律得：
mg•2L（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv′²+mg$•\frac{4}{5}$L
聯(lián)立解得：α=60°
答：（1）小球擺到最低點(diǎn)O時(shí)的速度是2$\sqrt{gL（1-cosα）}$；
（2）小球擺到左方最高點(diǎn)的高度是2L（1-cosα）；
（3）輕繩與豎直方向的夾角α為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確擺球擺動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律及臨界條件結(jié)合進(jìn)行研究．