Question

如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BECD是圓心為O的光滑圓軌道，半徑為R，與AB在B點(diǎn)相切．一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)，從直軌道上P點(diǎn)由靜止釋放，P、O、C三點(diǎn)在同一水平直線(xiàn)上，E為最低點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與AB直軌道動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，求：
（1）質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)E點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)軌道對(duì)其支持力大�。�
（2）質(zhì)點(diǎn)在AB直軌道上運(yùn)動(dòng)的最大路程（質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有脫離原軌道）；
（3）為了不脫離軌道在軌道上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，則釋放點(diǎn)改為P'點(diǎn)，則P'點(diǎn)離B的點(diǎn)距離最大不超過(guò)多少？

Answer 1

分析：（1）質(zhì)點(diǎn)從P運(yùn)動(dòng)到E過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出質(zhì)點(diǎn)通過(guò)E點(diǎn)時(shí)的速度大�。�質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解軌道的支持力大�。�
（2）由于質(zhì)點(diǎn)在粗糙斜面滑動(dòng)時(shí)機(jī)械能不斷減少，最終質(zhì)點(diǎn)在以B點(diǎn)為最高點(diǎn)的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，通過(guò)B點(diǎn)的速度為零，對(duì)全過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出質(zhì)點(diǎn)在AB直軌道上運(yùn)動(dòng)的最大路程；
（3）為了不脫離軌道在軌道上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)為C點(diǎn)且速度v_C=0，根據(jù)動(dòng)能定理求解P'點(diǎn)離B的點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得：
從P→E：mgR-μmgcosθ?Rcotθ=

1

2

m

v

2 E

在E點(diǎn)：FN-mg=m

v 2 E

R

聯(lián)立解得，F(xiàn)_N=mg（3-2μcosθcotθ）
（2）最終通過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度為O，對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理得
     mgRcosθ-μmgcosθ?S_總=0
解得，S_總=

R

μ

（3）為了不脫離軌道在軌道上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)為C點(diǎn)且速度v_C=0，
則 mg（Lsinθ-Rcosθ）-μmgcosθ?L=0
有：L=

Rcosθ

sinθ-μcosθ

=

R

tanθ-μ

答：（1）質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)E點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)軌道對(duì)其支持力大小是mg（3-2μcosθcotθ）；
（2）質(zhì)點(diǎn)在AB直軌道上運(yùn)動(dòng)的最大路程是

R

μ

；
（3）為了不脫離軌道在軌道上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，釋放點(diǎn)改為P'點(diǎn)，則P'點(diǎn)離B的點(diǎn)距離最大不超過(guò)

R

tanθ-μ

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合應(yīng)用了動(dòng)能定理、圓周運(yùn)動(dòng)及圓周運(yùn)動(dòng)中能過(guò)最高點(diǎn)的條件，關(guān)鍵要抓住滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)．