Question

如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）從直軌道的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它在兩軌道之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因素為μ，求：
（1）物體做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在軌道AB上通過(guò)的總路程．
（2）物體對(duì)圓弧軌道最低點(diǎn)E的最小壓力．

Answer 1

分析：（1）物體只有在直軌道AB上往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，需克服摩擦阻力做功，機(jī)械能不斷減小，在光滑的圓弧軌道上沒(méi)有機(jī)械能損失；只有當(dāng)物體到達(dá)B點(diǎn)速度為零時(shí)，物體才不能再進(jìn)入直軌道AB，只在圓弧軌道上往復(fù)運(yùn)動(dòng)．所以我們就選擇從P點(diǎn)到最后速度為零的過(guò)程為研究對(duì)象，應(yīng)用動(dòng)能定理求出摩擦力做功的路程即物體在AB軌道上的總路程． 
（2）欲求在E點(diǎn)物體對(duì)圓弧軌道的最小壓力當(dāng)然首先解決E點(diǎn)的最小速度，即物體只在圓弧軌道上往復(fù)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)速度最小，由動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒都可以，然后利用牛頓第二定律求出軌道對(duì)物體的彈力，再由牛頓第三定律求出物體對(duì)軌道的壓力．

解答：解：（1）物體在直軌道AB上往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，需克服摩擦阻力做功，機(jī)械能不斷減小，當(dāng)物體到達(dá)B點(diǎn)速度為零時(shí)，物體不能再進(jìn)入直軌道AB，只在圓弧軌道上往復(fù)運(yùn)動(dòng)．
對(duì)物體從P到B速度為零的過(guò)程，由動(dòng)能定理得mgRcosθ-μmgcosθ?s=0
所以s=

R

μ

（2）當(dāng)物體只在圓弧軌道上往復(fù)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)，物體對(duì)軌道上E點(diǎn)的壓力最小，
由機(jī)械能守恒定律得   mgR(1-cosθ)=

1

2

mv2
由牛頓第二定律得   FN-mg=m

v2

R

聯(lián)立兩式解得   F_N=mg（3-2cosθ）
由牛頓第三定律得，物體對(duì)軌道上E點(diǎn)的壓力F_N′=mg（3-2cosθ）
答：（1）在軌道AB上通過(guò)的總路程s=

R

μ

（2）物體對(duì)圓弧軌道最低點(diǎn)E的最小壓力F_N′=mg（3-2cosθ）

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)受力分析明確物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是本體的關(guān)鍵，即知道物體在B點(diǎn)的速度為零；
這是一道考查力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系、功能關(guān)系的中檔次好題．