Question

如圖所示，固定在上、下兩層水平面上的平行金屬導(dǎo)軌MN、M′N′和OP、O′P′間距都是l，二者之間固定兩組豎直半圓形軌道PQM和P′Q′M′，兩軌道間距也均為l，且PQM和P′Q′M′的豎直高度均為4R，兩個半圓形軌道的半徑均為R．軌道的QQ′端、MM′端的對接狹縫寬度可忽略不計，圖中的虛線為絕緣材料制成的固定支架，能使導(dǎo)軌系統(tǒng)位置固定．將一質(zhì)量為m的金屬桿沿垂直導(dǎo)軌方向放在下層金屬導(dǎo)軌的最左端OO′位置，金屬桿在與水平成θ角斜向上的恒力作用下沿導(dǎo)軌運(yùn)動，運(yùn)動過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直，且接觸良好．當(dāng)金屬桿通過4R距離運(yùn)動到導(dǎo)軌末端PP′位置時其速度大小v_P=4

gR

．金屬桿和導(dǎo)軌的電阻、金屬桿在半圓軌道和上層水平導(dǎo)軌上運(yùn)動過程中所受的摩擦阻力，以及整個運(yùn)動過程中所受空氣阻力均可忽略不計．

（1）已知金屬桿與下層導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，求金屬桿所受恒力F的大小；
（2）金屬桿運(yùn)動到PP′位置時撤去恒力F，金屬桿將無碰撞地水平進(jìn)入第一組半圓軌道PQ和P′Q′，又在對接狹縫Q和Q′處無碰撞地水平進(jìn)入第二組半圓形軌道QM和Q′M′的內(nèi)側(cè)，求金屬桿運(yùn)動到半圓軌道的最高位置MM′時，它對軌道作用力的大�。�
（3）若上層水平導(dǎo)軌足夠長，其右端連接的定值電阻阻值為r，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中．金屬桿由第二組半圓軌道的最高位置MM′處，無碰撞地水平進(jìn)入上層導(dǎo)軌后，能沿上層導(dǎo)軌滑行．求金屬桿在上層導(dǎo)軌上能滑行的最大距離．

Answer 1

分析：（1）直線加速過程，受到拉力、重力、支持力和滑動摩擦力，對直線加速過程運(yùn)用動能定理列式求解；
（2）導(dǎo)體棒沿著圓弧型光滑軌道上滑過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解出最高點(diǎn)速度，然后根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律列式求解出導(dǎo)體棒所受壓力，最后根據(jù)牛頓第三定律求解棒對軌道的壓力；
（3）對減速過程運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、動量定理列式后聯(lián)立求解．

解答：解：（1）導(dǎo)體棒加速過程中，重力和支持力不做功，只有拉力和摩擦力做功，拉力做功為W₁=F?4R?cosθ，摩擦力為F_f=μF_N=μ（mg-Fsinθ），
故摩擦力做功為W₂=-μ（mg-Fsinθ）?4R
根據(jù)動能定理W=△E_k，有F?4R?cosθ-μ(mg-Fsinθ)?4R=

1

2

mvP2
解得F=

(2+μ)mg

cosθ+μsinθ

（2）設(shè)金屬桿從PP′位置運(yùn)動到軌道最高點(diǎn)位置MM′時的速度為v₁，此過程根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

1

2

mvP2=4mgR+

1

2

mv12
解得v1=

8gR

設(shè)金屬桿MM′位置所受軌道壓力為F_M，根據(jù)牛頓第二定律，有FM+mg=m

v12

R

解得F_M=7mg
由牛頓第三定律可知，金屬桿對軌道壓力的大小F′_M=7mg
故金屬桿運(yùn)動到半圓軌道的最高位置MM'時，它對軌道作用力的大小為7mg．
（3）金屬桿在上層導(dǎo)軌上滑行時由于安培力作用而最終靜止．設(shè)運(yùn)動時間為△t
根據(jù)動量定理BIL?△t=mv₁
即Blq=mv₁
則q=

mv1

Bl

根據(jù)閉合電路歐姆定律，有

.

I

=

. E

r

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，有

.

E

=

△Φ

△t

=

Blx

△t

而q=

.

I

?△t=

Blx

r

由此可得x=

mr 8gR

B2l2

答：（1）金屬桿所受恒力F的大小為

(2+μ)mg

cosθ+μsinθ

．
（2）金屬桿運(yùn)動到半圓軌道的最高位置MM'時，它對軌道作用力的大小為7mg．
（3）金屬桿在上層導(dǎo)軌上滑行的最大距離為

mr 8gR

B2l2

．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是明確導(dǎo)體棒運(yùn)動過程中的能量變化情況，然后多次運(yùn)用動能定理、機(jī)械能守恒定律、動量定理列式求解．