Question

12．近年來，隨著人類對火星的了解越來越多，人類開始進(jìn)行移民火星的科學(xué)探索，并面向全球招募“單程火星之旅”的志愿者．若某物體在火星表面做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在地球表面同一高度處做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為P，已知火星半徑與地球半徑之比為q，不考慮星球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）火星表面重力加速度g₁與地球表面重力加速度g₂的比值．
（2）火星第一宇宙速度v₁與地球第一宇宙速度v₂的比值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系公式h=$\frac{1}{2}$gt²列式求解重力加速度之比；
（2）第一宇宙速度是星球表面的環(huán)繞速度，重力等于向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解第一宇宙速度之比．

解答 解：解：（1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系公式h=$\frac{1}{2}$gt²，有：
g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
解得：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}$=$\frac{1}{{P}^{2}}$
（2）第一宇宙速度是星球表面的環(huán)繞速度，重力等于向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
已知火星半徑與地球半徑之比為q，$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}$=$\frac{1}{{P}^{2}}$
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{\sqrt{q}}{P}$，
答：（1）火星表面重力加速度g₁與地球表面重力加速度g₂的比值是$\frac{1}{{P}^{2}}$．
（2）火星第一宇宙速度v₁與地球第一宇宙速度v₂的比值是$\frac{\sqrt{q}}{P}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是先根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)確定重力加速度，然后結(jié)合重力等于衛(wèi)星需要的向心力列式求解．