Question

如圖所示是一種簡化磁約束示意圖，可以將高能粒子約束起來．有一個環(huán)形勻強磁場區(qū)域的截面內半徑R₁，外半徑R₂，被約束的粒子帶正電，比荷

q

m

=4.0×10⁷C/kg，不計粒子重力和粒子間相互作用．（請在答卷中簡要作出粒子運動軌跡圖）
（1）若內半徑R₁=1m，外半徑R₂=3m，要使從中間區(qū)域沿任何方向，速率v=4×
10⁷m/s的粒子射入磁場時都不能越出磁場的外邊界，則磁場的磁感應強度B至少為多大？
（2）若內半徑R₁=

3

m，外半徑R₂=3m，磁感應強度B=0.5T，帶電粒子從中間區(qū)域沿半徑方向射入磁場，則粒子不能穿越磁場外邊界的最大速率v_m是多少？
（3）若帶電粒子以（2）問中最大速率v_m從圓心O出發(fā)沿圓環(huán)半徑方向射入磁場，請在圖中畫出其運動軌跡，并求出粒子從出發(fā)到第二次回到出發(fā)點所用的時間（結果可用分數表示或保留二位有效數字）．

Answer 1

（1）粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，磁感應強度越，粒子軌道半徑越大，
求出最大軌道半徑，然后求出對應的最小磁感應強度，粒子軌道半徑最大時，運動軌跡如圖所示：
由圖示可知，r²+R₁²=（R₂-r）²，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

r

，
解得：B=0.75T，則磁感應強度至少為0.75T；
（2）粒子沿半徑方向射出恰好不射出磁場時的運動軌跡如圖所示：
根據圖示，由數學知識可知：r²+R₁²=（R₂-r）²，
將R₁=

3

m，R₂=3m代入解得：r=1m，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

r

，
已知：B=0.5T，
解得：v=2×10⁷m/s，
則粒子的最大速率為2×10⁷m/s．
（3）帶電粒子必須三次經過磁場，才能回到出發(fā)點，軌跡如圖所示：
根據圖示由數學知識可知，tanθ=

R1

r

=

3

，則θ=60°
則粒子在磁場中運動一次轉過的圓心角φ=360-2×60=240°，
粒子在磁場中的運動時間：
t₁=3

φ

360°

T=3×

240°

360°

×

2πm

qB

=2π×10^-7s≈6.28×10^-7s，
粒子在磁場外的運動時間：
t₂=3

2R1

v

=3×

2× 3

2×107

≈5.20×10^-7s，
粒子從出發(fā)到第二次回到出發(fā)點所用的時間t=t₁+t₂≈1.1×10^-6s，
答：（1）磁場的磁感應強度B至少為0.75T；
（2）粒子不能穿越磁場外邊界的最大速率v_m是2×10⁷m/s；
（3）粒子從出發(fā)到第二次回到出發(fā)點所用的時間為1.1×10^-6s．