Question

4．如圖，在某裝置中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于xOy所在紙面向外．某時(shí)刻在x=l₀、y=0處，一質(zhì)子（質(zhì)子的質(zhì)量為m，電荷量為e）沿y軸負(fù)方向進(jìn)入磁場(chǎng)；同一時(shí)刻，在x=-l₀、y=0處，一個(gè)α粒子（α粒子的質(zhì)量為4m，電荷量為2e）進(jìn)入磁場(chǎng)，速度方向與磁場(chǎng)垂直．不考慮質(zhì)子與α粒子的相互作用，設(shè)．則：
（1）如果質(zhì)子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，它的速度為多大？
（2）如果α粒子與質(zhì)子經(jīng)最短時(shí)間在坐標(biāo)原點(diǎn)相遇，α粒子的速度應(yīng)為何值？方向如何？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合半徑公式求出質(zhì)子的速度．
（2）如果α粒子與質(zhì)子經(jīng)最短時(shí)間在坐標(biāo)原點(diǎn)相遇，結(jié)合兩者周期的關(guān)系，確定出α粒子的速度方向，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑求出速度的大�。�

解答 解：（1）質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

其圓心在：x=$\frac{{l}_{0}}{2}$處，其半徑r₁=$\frac{{l}_{0}}{2}$．
質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：v=$\frac{eB{l}_{0}}{2m}$；
（2）質(zhì)子從x=l₀處到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)O處的時(shí)間為：t_H=$\frac{{T}_{H}}{2}$，
又T_H=$\frac{2πm}{eB}$，可得：t_H=$\frac{πm}{eB}$．
α粒子的周期為：T_α=$\frac{4πm}{eB}$，可得：t_α=$\frac{{T}_{α}}{4}$，
兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何關(guān)系得：r_α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l₀，
由牛頓第二定律的：2ev_αB=4m$\frac{{v}_{α}^{2}}{{r}_{α}}$，
解得：v_α=$\frac{\sqrt{2}eB{l}_{0}}{4m}$，方向與x軸正方向的夾角為$\frac{π}{4}$．
答：（1）如果質(zhì)子經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，它的速度為$\frac{eB{l}_{0}}{2m}$；
（2）如果α粒子與質(zhì)子經(jīng)最短時(shí)間在坐標(biāo)原點(diǎn)相遇，α粒子的速度應(yīng)為$\frac{\sqrt{2}eB{l}_{0}}{4m}$，方向：與x軸正方向的夾角為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，會(huì)確定圓心、半徑和圓心角是解決本題的關(guān)鍵．