Question

17．已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，地球同步軌道距離地面的高度為6R．有一顆運(yùn)動(dòng)軌道與赤道平面重合、運(yùn)轉(zhuǎn)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同的衛(wèi)星，距離地面高度為R．求：
（1）該衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）某時(shí)刻該衛(wèi)星正經(jīng)過(guò)位于赤道上的一建筑物上方，從這一時(shí)刻算起，衛(wèi)星經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，將再次到達(dá)建筑物上方？（答案可保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解衛(wèi)星的周期．
（2）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度與建筑物轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空

解答 解：（1）地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
對(duì)地球同步衛(wèi)星，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+6R）^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+6R），
對(duì)該衛(wèi)星，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm′}{（R+R）^{2}}$=m′（$\frac{2π}{T′}$）²（R+R），
 解得：T′=$\sqrt{\frac{8}{343}}$T；
（2）以地面為參照物，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上方時(shí)，建筑物隨地球轉(zhuǎn)過(guò)的弧度比衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)弧度少2π．
即ω_衛(wèi)△t-ω△t=2π，所以 $\frac{2π}{T′}$△t-$\frac{2π}{T}$△t=2π，解得：△t=$\frac{\sqrt{\frac{8}{343}}}{1-\sqrt{\frac{8}{343}}}$T；
答：（1）該衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的周期為$\sqrt{\frac{8}{343}}$T；
（2）某時(shí)刻該衛(wèi)星正經(jīng)過(guò)位于赤道上的一建筑物上方，從這一時(shí)刻算起，衛(wèi)星經(jīng)過(guò)時(shí)間：$\frac{\sqrt{\frac{8}{343}}}{1-\sqrt{\frac{8}{343}}}$T將再次到達(dá)建筑物上方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．要理解當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度與建筑物轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空．