Question

如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心、半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y=r的上方足夠大的范圍內(nèi)，有方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，從O點(diǎn)向不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)．設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)中的軌道半徑也為r，已知質(zhì)子的電量為e，質(zhì)量為m，不計(jì)重力及阻力的作用．求：
（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大��；
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時(shí)間；
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)，并畫(huà)出質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖；
（4）質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

分析：（1）、質(zhì)子射入磁場(chǎng)后將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)洛倫茲力提供向心力，由向心力公式evB=

mv2

r

即可求得質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小．
（2）、速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是

1

4

圓周，射出磁場(chǎng)后進(jìn)入電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，分別求出這兩段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求和．
（3）、先對(duì)質(zhì)子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)質(zhì)子會(huì)以平行于y軸的方向離開(kāi)磁場(chǎng)，質(zhì)子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角是120°，并會(huì)垂直于電場(chǎng)的方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，分別計(jì)算進(jìn)入電場(chǎng)前在y軸方向的位移和進(jìn)入電場(chǎng)后在y軸方向上的位移，即可得到到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)．
（4）、質(zhì)子最遠(yuǎn)的是從磁場(chǎng)右邊界向上直行，即進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)距y軸的距離是2r，根據(jù)類(lèi)平拋移動(dòng)的知識(shí)求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)沿y軸的位移，即可求出質(zhì)子到達(dá)y軸最大坐標(biāo)．

解答：解：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：
evB=

mv2

r

得：v=

eBr

m

（2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場(chǎng)后經(jīng)

1

4

圓弧后以速度v垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間  
 t1=

T

4

=

πm

2eB

進(jìn)入電場(chǎng)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)r后到達(dá)y軸，因此有：
t2=

2r a

=

2mr eg

到達(dá)y軸所需的時(shí)間為t=t₁+t₂=

πm

2eB

+

2mr eg

（3）質(zhì)子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)120°角后從P點(diǎn)垂直電場(chǎng)線(xiàn)進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
P點(diǎn)距y軸的距離為：
x₁=r+rsin30°=1.5r
可得質(zhì)子從進(jìn)入電場(chǎng)至到達(dá)y軸所需時(shí)間為：
t2=

2x1 a

=

3mr eE

質(zhì)子在電場(chǎng)中沿y軸方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因此有：
y′=vt2=Br

3er mE

質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為：
y=r+y′=r+Br

3er mE

 
即（0，r+Br

3er mE

）
（4）質(zhì)子最遠(yuǎn)的是從磁場(chǎng)右邊界向上直行，垂直進(jìn)入電場(chǎng)，固有：
Y=r+Br

4re Em

范圍是：（0，r+Br

4re Em

）
答：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為

eBr

m

．
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時(shí)間為

πm

2eB

+

2mr eg

．
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為（0，r+Br

3er mE

）．
（4）質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍為（0，r+Br

4re Em

）．

點(diǎn)評(píng)：該題是一道綜合性較強(qiáng)的題，主要是考察了帶電粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)．該題確定質(zhì)子射出磁場(chǎng)的位置和方向是解決該題的關(guān)鍵，找圓心、畫(huà)軌跡是解題的基礎(chǔ)．帶電粒子垂直于磁場(chǎng)進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作出各速度的垂線(xiàn)，則二垂線(xiàn)的交點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線(xiàn)也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及粒子經(jīng)過(guò)的圓心角從而解答物理問(wèn)題．