Question

如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心，半徑為r的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y=r的虛線上方足夠大的范圍內(nèi)，有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E．從O點(diǎn)向不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)，且質(zhì)子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知質(zhì)子的電荷量為q，質(zhì)量為m，不計(jì)重力、粒子間的相互作用力及阻力的作用．求：
（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小；
（2）沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時(shí)間；
（3）與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入的質(zhì)子，到達(dá)y軸時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列式求解即可；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系作出軌跡知質(zhì)子垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，進(jìn)入點(diǎn)與y軸的距離為r，再根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)求質(zhì)子到達(dá)y軸的時(shí)間；
（3）同樣由幾何關(guān)系作出質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)的位置，進(jìn)入電場(chǎng)后根據(jù)動(dòng)能定理求質(zhì)子進(jìn)到達(dá)y軸時(shí)的速度大�。�

解答：解：（1）根據(jù)題意知，質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以有：
qvB=m

v2

r

，得到質(zhì)子圓周運(yùn)動(dòng)的速度v=

qBr

m

（2）質(zhì)子沿x軸下向射入磁場(chǎng)經(jīng)過

1

4

圓弧后以速度v垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T=

2πr

v

=

2πm

qB

，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

1

4

T=

πm

2qB

質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)r后到達(dá)y軸，質(zhì)子在電場(chǎng)中的加速度a=

F

m

=

qE

m

質(zhì)子在電場(chǎng)方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)y軸時(shí)有r=

1

2

a

t

2 2

質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2=

2mr qE

所以沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時(shí)間t=t₁+t₂=

πm

2qB

+

2mr qE

（3）如圖
質(zhì)子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過120°角后從P點(diǎn)垂直于電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)
P點(diǎn)距y軸的距離x₁=r+rsin30°=1.5r        ①
由動(dòng)能定理得：qEx1=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

     ②
由①②得質(zhì)子到達(dá)y軸時(shí)的速度v₂=

3qEr m + q2B2r2 m2

答：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為

qBr

m

；
（2）沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時(shí)間為

πm

2qB

+

2mr qE

；
（3）與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入的質(zhì)子，到達(dá)y軸時(shí)的速度大小為

3qEr m + q2B2r2 m2

．

點(diǎn)評(píng)：洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，根據(jù)軌跡關(guān)系求出質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)中的速度方向，再根據(jù)速度關(guān)系求出質(zhì)子在電場(chǎng)中做何種運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)求解．