Question

17．如圖所示，弧形軌道的下端與半徑為R=1.6m的圓軌道平滑連接．現(xiàn)在使一質(zhì)量為m=1kg的小球從弧形軌道上端距地面h=2.8m的A點(diǎn)由靜止滑下，進(jìn)入圓軌道后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，軌道摩擦不計(jì)，g取10m/s²．試求：
（1）小球在最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（2）若小球在C點(diǎn)（未畫出）脫離圓軌道，求半徑OC與豎直方向的夾角θ大小；
（3）小球在C點(diǎn)脫離圓軌道后能到達(dá)的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球從A到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理，可求解球經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)的速度；在B點(diǎn)，由重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，結(jié)合向心力表達(dá)式，即可求解小球在最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒，小球不可能到達(dá)圓周最高點(diǎn)，但在圓心以下的圓弧部分速度不等0，彈力不等于0，小球不會(huì)離開軌道，應(yīng)在圓心以上的圓弧部分脫離軌道，此時(shí)軌道對(duì)小球的彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出此時(shí)小球的速度，由機(jī)械能守恒定律列式求解．
（3）離開C點(diǎn)后做斜上拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法和機(jī)械能守恒定律結(jié)合解答．

解答 解：（1）小球從A到B的過程中，由動(dòng)能定理得：$mg•h=\frac{1}{2}m{v^2}$ 
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$ 
聯(lián)立解得  F_N=45N 
根據(jù)牛頓第三定律得：小球在最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大小 F_N′=F_N=45N，方向豎直向下．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒知，小球不可能到達(dá)圓周最高點(diǎn)，但在圓心以下的圓弧部分速度不等0，彈力不等于0，小球不會(huì)離開軌道．
設(shè)小球在C點(diǎn)（OC與豎直方向的夾角為θ）脫離圓軌道，則在C點(diǎn)軌道彈力為0，由牛頓第二定律有：
  $mgcosθ=m\frac{v_c^2}{R}$ 
小球從A到C的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：$mg•h=mgR+mgRcosθ+\frac{1}{2}mv_c^2$ 
由以上兩式解得：${v_c}=2\sqrt{2}m/s$，θ=60°
（3）離開C點(diǎn)后做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平分速度v_ccosθ 
設(shè)小球離開圓軌道后能到達(dá)的最大高度h處為D點(diǎn)，則D點(diǎn)的速度即水平方向大小等于 v_ccosθ 
從A到D點(diǎn)的過程中由機(jī)械能守恒定律得：$mg•h=\frac{1}{2}m{（{v_c}cosθ）^2}+mgh'$ 
解得：h′=2.7m 
答：
（1）小球在最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是45N，方向豎直向下；
（2）若小球在C點(diǎn)（未畫出）脫離圓軌道，半徑OC與豎直方向的夾角θ大小是60°；
（3）小球在C點(diǎn)脫離圓軌道后能到達(dá)的最大高度是2.7m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意分析小球的運(yùn)動(dòng)過程和狀態(tài)，明確小球剛脫離軌道時(shí)軌道對(duì)球的彈力為零，由徑向合力充當(dāng)向心力．