Question

2．在如圖甲所示的xOy平面內，y軸右側空間有分布均勻、大小隨時間周期性變化的電場和磁場，其變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示，電場強度大小為E₀，方向沿y軸負方向，垂直xOy平面向里為磁場的正方向．在t=0時刻，質量為m、電荷量為+q的粒子，以初速度大小為υ₀從坐標原點O沿x軸正方向出發(fā)，已知粒子在磁場中做圓周運動的周期為t₀，不計粒子的重力，求粒子在：
（1）t=t₀時的動能；
（2）3t₀ ～4t₀時間內運動位移的大��；
（3）t=2nt₀（n=1，2，3，…）時位置坐標．

Answer 1

分析 （1）在0～t₀時間內區(qū)域內只有沿-y方向的勻強電場，帶電粒子向下做類平拋運動，先求出帶電粒子在電場中的豎直位移，再由動能定理求出末動能．
（2）在和t₀～1.5t₀時間內做逆時針方向的勻速圓周運動半周，1.5t₀～2t₀時間內做順時針方向的勻速圓周運動半周，而在2t₀～3t₀繼續(xù)做類平拋運動，那么在3t₀～4t₀時間重復t₀～2t₀的逆、順時針圓周運動半周，只是速度變大了，半徑更大．這段時間的位移恰好是4R₂．
（3）粒子在2nt₀內交替地做類平拋運動和逆、順時針半圓周運動，沿著x軸方向一直向前推進，但沿y的方向上電場中是向下推進，在磁場中是向上返回的，由類平拋運動規(guī)律求出電場中的水平位移、豎直位移以及末速度方向，由洛侖茲力提供向心力求出圓周運動的半徑，所以位置坐標是x=x_電+x_磁，y=y_磁-y_電．

解答 解：（1）帶電粒子在偏轉電場中做類平拋運動，沿y軸負方向的位移：${y}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{q{E}_{0}}{m}{{t}_{0}}^{2}$
  根據(jù)動能定理有：$q{E}_{0}{y}_{1}={E}_{k1}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
  解得  E_k1=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{q{{E}_{0}}^{2}{t}_{0}}{2m}$
（2）粒子在3t₀～4t₀時間內是第二次在磁場內做的勻速圓周運動，其速度大小是粒
  子在電場中運動2t₀時瞬時速度的大小
  v₂=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+（a×2{t}_{0}）^{2}}$=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{{E}_{0}}^{2}{q}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{{m}^{2}}}$
 洛侖茲力提供向心力：Bqv₂=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$
  由題意：T=t₀=$\frac{2πm}{Bq}$
 聯(lián)立以上幾式得：R₂=$\frac{{t}_{0}}{2π}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{{E}_{0}}^{2}{q}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{{m}^{2}}}$
 所以該時間段內的位移 S=4R₂=$\frac{2{t}_{0}}{π}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{{E}_{0}}^{2}{q}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{{m}^{2}}}$
（3）在t=2nt₀ （n=1，2.3…）時，粒子在所有電場中的運動合起來
  可以看成一個時間為nt₀完整的類平拋運動，所以粒子在電場中的位移：
  x_電=v₀×nt₀=v₀nt₀
  y_電=$\frac{1}{2}×\frac{{E}_{0}q}{m}（n{t}_{0}）^{2}$
  粒子在磁場中的運動，由幾何關系可得（2n-1）t₀時間內的位移：
 粒子在磁場中沿x正方向的位移：x_磁=4R_nsinθ_n
  粒子在磁場中沿y正方向的位移：y_磁=4R_ncosθ_n
 而粒子做勻速圓周運動半徑 R_n=$\frac{m{v}_{n}}{Bq}$
 在電場中末速度方向：sinθ_n=$\frac{{v}_{ny}}{{v}_{n}}$     cosθ_n=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{n}}$
 而在電場末豎直速度：v_ny=$\frac{{E}_{0}q}{m}n{t}_{0}$  
  x_磁n=$\frac{2{E}_{0}q{{t}_{0}}^{2}n}{mπ}$
  y_磁n=$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
  則粒子在2nt₀時位置坐標為
   x=x_電+x_磁=${v}_{0}n{t}_{0}+\frac{n（n+1）{E}_{0}q}{mπ}{{t}_{0}}^{2}$
   y=y_磁-y_電=$\frac{2{v}_{0}n{t}_{0}}{π}-\frac{{E}_{0}q{n}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{2m}$   （n=1，2.3…）
答：（1）t=t₀時的動能為$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{q{{E}_{0}}^{2}{t}_{0}}{2m}$．
（2）3t₀ ～4t₀時間內運動位移的大小為$\frac{2{t}_{0}}{π}\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{{E}_{0}}^{2}{q}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{{m}^{2}}}$．
（3）t=2nt₀（n=1，2，3，…）時位置坐標是（${v}_{0}n{t}_{0}+\frac{n（n+1）{E}_{0}q}{mπ}{{t}_{0}}^{2}$，$\frac{2{v}_{0}n{t}_{0}}{π}-\frac{{E}_{0}q{n}^{2}{{t}_{0}}^{2}}{2m}$）（n=1，2.3…）．

點評 本題的難點在于第三問：在第一、二題的基礎上，弄清了在各個時間段的運動情況，即奇數(shù)個t₀時間內，做勻變速度曲線運動，從第一個開始可看作連續(xù)的類平拋運動，在x軸方向一直向左平移的，在偶數(shù)個t₀內做逆、順時針方向半圓周運動，但沿y方向是向上平移的，由此可以求出2nt₀時刻的位置坐標．