Question

10．如圖所示，半徑為r的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I與x軸相切與坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，方向垂直于紙面向外，磁場(chǎng)區(qū)域I右側(cè)有一長(zhǎng)方體加速管，加速管底面寬度為2r，軸線與x軸平行且過磁場(chǎng)區(qū)域I的圓心，左側(cè)的電勢(shì)比右側(cè)高U．在加速管出口下側(cè)距離2r處放置一寬度為2r的熒光屏，加速管右側(cè)存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域II，在O點(diǎn)處有一個(gè)粒子源，能沿紙面向y＞0的各個(gè)方向均勻地發(fā)射大量質(zhì)量為m、帶電荷量為q且速率相同的粒子，其中沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，恰能沿軸線進(jìn)入長(zhǎng)方形加速管并打在熒光屏的中心位置，（不計(jì)粒子重力及其相互作用）
（1）求粒子剛進(jìn)入加速管時(shí)的速度大��；
（2）求磁場(chǎng)區(qū)域II的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂；
（3）若進(jìn)入加速管的粒子數(shù)目為N，則磁場(chǎng)II的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂減小10%時(shí)，有多少離子能打在熒光屏上．

Answer 1

分析 （1）由運(yùn)動(dòng)方向通過幾何關(guān)系求得半徑，進(jìn)而由洛倫茲力作向心力求得速度；
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理取得進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子速度，再由幾何關(guān)系求得半徑，由洛倫茲力作向心力聯(lián)立兩式求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）先通過幾何關(guān)系求得粒子在加速管中的分布，然后由粒子運(yùn)動(dòng)的半徑及幾何關(guān)系求得可打在熒光屏上的粒子范圍，進(jìn)而求得數(shù)目．

解答 解：（1）沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，恰能沿軸線進(jìn)入長(zhǎng)方形加速管并打在熒光屏的中心位置，則磁場(chǎng)區(qū)域I內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑距離為r，
在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力，則有：${B}_{1}vq=\frac{m{v}^{2}}{r}$，
解得：$v=\frac{{B}_{1}qr}{m}$；
（2）沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，恰能沿軸線進(jìn)入長(zhǎng)方形加速管，則由動(dòng)能定理可得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ的速度為v′，有關(guān)系式：$Uq=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
解得：$v′=\sqrt{\frac{2Uq}{m}+{v}^{2}}$；
因?yàn)榱Ｗ釉诖艌?chǎng)Ⅱ中運(yùn)動(dòng)，并打在熒光屏的中心位置，所以，粒子在磁場(chǎng)Ⅱ中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R′=2r，
由洛倫茲力作向心力可得：${B}_{2}v′q=\frac{mv{′}^{2}}{R′}$，所以，${B}_{2}=\frac{mv′}{qR′}=\frac{m\sqrt{\frac{2Uq}{m}+{v}^{2}}}{2qr}$，其中$v=\frac{{B}_{1}qr}{m}$；
（3）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ中，設(shè)粒子從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)，如圖所示，
，
因?yàn)榱Ｗ幼鰣A周運(yùn)動(dòng)的圓心在弦長(zhǎng)的垂直平分線上，且磁場(chǎng)區(qū)域和圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都為r，所以，磁場(chǎng)區(qū)域的兩條半徑和圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的兩條半徑構(gòu)成菱形，所以，在P點(diǎn)的徑向平行于y軸，所以，粒子離開磁場(chǎng)時(shí)的速度為水平方向．
若進(jìn)入加速管的粒子數(shù)目為N，則這N個(gè)粒子在豎直方向上均勻分布；
在磁場(chǎng)中粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力，有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
解得：$R=\frac{mv}{Bq}$；
磁場(chǎng)II的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂減小10%時(shí)，則粒子在磁場(chǎng)Ⅱ中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：$R″=\frac{R′}{90%}=\frac{20}{9}r$，
設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)，豎直高度為y，則只要：0≤2R″-2r-y≤2r，粒子就可以打在熒光屏上，
所以，$\frac{4}{9}r≤y≤\frac{22}{9}r$，因?yàn)镹個(gè)粒子在0≤y≤2r上均勻分布，所以打在屏上的粒子數(shù)為：$n=\frac{2r-\frac{4}{9}r}{2r}N=\frac{7}{9}N$．
答：（1）粒子剛進(jìn)入加速管時(shí)的速度大小為$\frac{{B}_{1}qr}{m}$；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域II的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂為$\frac{m\sqrt{\frac{2Uq}{m}+{v}^{2}}}{2qr}$，其中$v=\frac{{B}_{1}qr}{m}$；
（3）若進(jìn)入加速管的粒子數(shù)目為N，則磁場(chǎng)II的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂減小10%時(shí)，有$\frac{7}{9}N$個(gè)離子能打在熒光屏上．

點(diǎn)評(píng) 求解粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，應(yīng)用幾何關(guān)系要注意數(shù)量關(guān)系，如本題在磁場(chǎng)Ⅰ中，半徑都是r，才能形成菱形，得到出射速度方向．