Question

18．如圖，在光滑的水平桌面上釘兩個相距20cm的釘子A和B，用一根長1m的細繩，一端系一個質(zhì)量為0.5kg的小球，另一端固定在釘子A上．開始時球與釘子A、B在一直線上，然后使小球以2m/s的速率開始在水平桌面內(nèi)做勻速圓周運動，若繩子能承受的最大拉力為4N，取g=10m/s²．求：
（1）繩子斷裂時小球的運動半徑；
（2）從小球開始運動到繩子斷裂所經(jīng)歷的時間；
（3）如果桌面高出地面0.8m，繩斷后小球垂直桌面邊緣飛出，不計空氣阻力．落地點離桌面邊緣的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在運動過程中速率不變，繩子斷裂時繩子拉力達到最大值4N，由向心力公式求繩子斷裂時小球的運動半徑．
（2）小球每轉(zhuǎn)半圈，長度減小20cm．然后求出從開始到繩斷所經(jīng)歷的時間．
（3）繩斷后小球做平拋運動，根據(jù)高度求出下落的時間，再由x=vt求水平距離．

解答 解：（1）小球在水平面上做勻速圓周運動時，由繩子的拉力充當向心力．當繩子的拉力為最大值4N時，根據(jù)向心力公式得：
F_max=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{min}}$
代入數(shù)據(jù)解得：R_min=0.5m
小球做圓周運動時每轉(zhuǎn)半圈半徑減小0.2m，故繩子斷裂時小球的運動半徑為0.4m．
（2）小球做圓周運動的周期為 T=$\frac{2πR}{v}$，小球做圓周運動時每轉(zhuǎn)半圈半徑減小0.2m，則知小球轉(zhuǎn)過3個半圓周后繩斷裂，所以從開始到繩斷所經(jīng)歷的時間為：
  t=$\frac{π{R}_{1}}{v}$+$\frac{π{R}_{2}}{v}$+$\frac{π{R}_{3}}{v}$=$\frac{π}{v}$（R₁+R₂+R₃）=$\frac{π}{2}$×（1+0.8+0.6）s=1.2π s
（3）繩斷后小球做平拋運動，則有：
H=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$
L=vt′
解得落地點離桌面邊緣的水平距離為：
L=0.8m
答：（1）繩子斷裂時小球的運動半徑是0.4m；
（2）從小球開始運動到繩子斷裂所經(jīng)歷的時間是1.2π s；
（3）落地點離桌面邊緣的水平距離是0.8m．

點評 本題的關鍵是找出小球運動的規(guī)律，運用數(shù)學上數(shù)列知識進行求解．要注意小球的半徑不可能為0.5m．