Question

4．如圖所示，是某公園設(shè)計(jì)的一種驚險(xiǎn)刺激的娛樂設(shè)施，軌道除CD部分粗糙外，其余均光滑．一挑戰(zhàn)者質(zhì)量為m，沿斜面軌道滑下，無能量損失的滑入第一個(gè)圓管形軌道，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)各放一個(gè)壓力傳感器，測試挑戰(zhàn)者對(duì)軌道的壓力，并通過計(jì)算機(jī)顯示出來．挑戰(zhàn)者到達(dá)A處時(shí)剛好對(duì)管壁無壓力，又經(jīng)過水平軌道CD滑入第二個(gè)圓管形軌道，在最高點(diǎn)B處挑戰(zhàn)者對(duì)管的內(nèi)側(cè)壁壓力為0.5mg，然后從平臺(tái)上飛入水池內(nèi)，水面離軌道的距離為h=2.25r．若第一個(gè)圓軌道的半徑為R，第二個(gè)管軌道的半徑為r，g取10m/s²，管的內(nèi)徑及人相對(duì)圓軌道的半徑可以忽略不計(jì)．則：

（1）挑戰(zhàn)者若能完成上述過程，則他應(yīng)從離水平軌道多高的地方開始下滑？
（2）挑戰(zhàn)者從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中克服軌道阻力所做的功？
（3）挑戰(zhàn)者入水時(shí)的速度大小是多少？

Answer 1

分析 （1）抓住挑戰(zhàn)者在A點(diǎn)剛好對(duì)管壁無壓力，可以求出小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的速度大小，再從靜止開始下滑到經(jīng)過A點(diǎn)的過程中只有重力對(duì)挑戰(zhàn)者做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得挑戰(zhàn)者下滑的高度h；
（2）同理抓住在B點(diǎn)對(duì)管壁壓力大小可以求得經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小，然后從A到B的過程中有重力做功和CD段的阻力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得阻力做功；
（3）挑戰(zhàn)者滑離平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可以求得入水時(shí)的速度大小．

解答 解：（1）挑戰(zhàn)者在A點(diǎn)對(duì)管壁無壓力，則挑戰(zhàn)者僅受重力作用，根據(jù)牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
可得挑戰(zhàn)者在A點(diǎn)的速度為：v_A=$\sqrt{gR}$
設(shè)挑戰(zhàn)者從離水平軌道高為H處開始下滑，從靜止開始到A點(diǎn)只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$-0
可得：H=$\frac{\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+2mgR}{mg}$=$\frac{\frac{1}{2}mgR+2mgR}{mg}$=$\frac{5}{2}$R
（2）因?yàn)樘魬?zhàn)者在B點(diǎn)對(duì)管的內(nèi)側(cè)壁壓力為0.5mg，故滿足：mg+N_B=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
可得：v_B=$\sqrt{1.5gr}$
又因?yàn)樘魬?zhàn)者從A滑至B點(diǎn)過程中只有重力做功和阻力在CD段做功，
根據(jù)動(dòng)能定理有：mg（2R-2r）-W_f克=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
所以有：W_f克=mg（2R-2r）+$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$=2.25mgr-$\frac{11}{4}$mgR；
（3）挑戰(zhàn)者從B到落水的過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：mg•2r+mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$
可得：v=$\sqrt{2×2gr+2×2.25gr+1.5gr}$=$\sqrt{11gr}$
答：（1）挑戰(zhàn)者若能完成上述過程，則他應(yīng)從離水平軌道$\frac{5}{2}$R高的地方開始下滑；
（2）挑戰(zhàn)者從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中克服軌道阻力所做的功為2.25mgr-$\frac{11}{4}$mgR；
（3）挑戰(zhàn)者入水時(shí)速度的大小為$\sqrt{11gr}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是多過程問題，應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)要靈活選擇研究的過程，正確的進(jìn)行受力分析和做功分析是關(guān)鍵．