Question

9．如圖所示，水平地面上豎直固定一個光滑的，半徑R=0.45m的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，A、B分別是圓弧的端點，圓弧B點右側(cè)是光滑的水平地面，地面上放著一塊足夠長的木板，木板的上表面與圓弧軌道的最低點B等高，可視為質(zhì)點的小滑塊P₁和P₂的質(zhì)量均為m=0.2kg，木板的質(zhì)量M=4m，P₁和P₂與木板上表面的動摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.20和μ₂=0.50，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，開始時木板的左端緊靠著B，P₂靜止在木板的左端，P₁以v₀=4.0m/s的初速度從A點沿圓弧軌道自由滑下，與P₂發(fā)生彈性碰撞后，P₁處在木板的左端，取g=10m/s²．求：
（1）P₁通過圓弧軌道的最低點B時對軌道的壓力
（2）P₂在木板上滑動時，木板的加速度為多大？
（3）已知木板長L=2m，請通過計算說明P₂會從木板上掉下嗎？如能掉下，求時間？如不能，求共速？

Answer 1

分析 （1）據(jù)機(jī)械能守恒、牛頓定律即可求解；（2）首先判斷碰后P₂的速度，在判斷后P₁與長木板是否運動，再利用牛頓第二定律求解即可．（3）先找出二者位移的關(guān)系，再利用運動學(xué)公式和動量守恒定律求即可．

解答 解：（1）P₁從A到B為研究過程，由機(jī)械能守恒得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在B點據(jù)牛頓第二定律得：F-mg=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
在B點由牛頓第三定律可知：F與F′等大反向，聯(lián)立以上解得：
v_B=5m/s…①
F′=13.1N，方向豎直向上．
（2）由于兩物體碰撞過程中是彈性碰撞，所以碰后P₂的速度為5m/s，P₂在長木板上做勻減速直線運動，P₁靜止在長木板上一齊做勻加速直線運動；據(jù)牛頓第二定律得：
μ₂mg=（M+m）a
代入數(shù)據(jù)解得：a=1m/s²…②
（3）假設(shè)不會從長木板上掉下，所以應(yīng)滿足：s_p-s_木≤L
設(shè)v為共同速度，由動量守恒得：mv₀=（m+m+M）v…③
以P₂為研究對象，牛頓第二定律得：μ₂mg=ma₁…④
據(jù)運動學(xué)公式得位移：${s}_{p}=\frac{{v}^{2}-{v}_{B}^{2}}{2{a}_{1}}$…⑤
再以長木板為研究對象，據(jù)運動學(xué)公式得：${s}_{木}=\frac{{v}^{2}}{2a}$…⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥解得：s_p-s_木=1.32m＜L=2m，所以假設(shè)成立．
解得：v=$\frac{2}{3}m/s$=0.67m/s
答：1）P₁通過圓弧軌道的最低點B時對軌道的壓力13.1N．
（2）P₂在木板上滑動時，木板的加速度1m/s²
（3）已知木板長L=2m，請通過計算說明P₂不會從木板上掉下，共同速度為0.67m/s．

點評 本題的關(guān)鍵是判斷物體的運動情況，判斷P₁靜止在長木板上一齊做勻加速直線運動是此題的重點，再據(jù)幾何關(guān)系找出位移關(guān)系，此題綜合性強(qiáng)，情景復(fù)雜，難度較大．