Question

如圖所示，兩根間距為L(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌MN和PQ，電阻不計(jì)，左端彎曲部分光滑，水平部分導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，水平導(dǎo)軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，右端有另一磁場(chǎng)Ⅱ，其寬度也為d，但方向豎直向下，兩磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小均為B₀，相隔的距離也為d．有兩根質(zhì)量為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，b棒置于磁場(chǎng)Ⅱ中點(diǎn)C、D處．現(xiàn)將a棒從彎曲導(dǎo)軌上某一高處由靜止釋放并沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)下去．
（1）當(dāng)a棒在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)時(shí)，若要使b棒在導(dǎo)軌上保持靜止，則a棒剛釋放時(shí)的高度應(yīng)小于某一值h₀，求h₀的大小；
（2）若將a棒從彎曲導(dǎo)軌上高度為h（h＜h₀）處由靜止釋放，a棒恰好能運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)Ⅱ的左邊界處停止，求a棒克服安培力所做的功；
（3）若將a棒仍從彎曲導(dǎo)軌上高度為h（h＜h₀）處由靜止釋放，為使a棒通過(guò)磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)恰好無(wú)感應(yīng)電流，可讓磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間而變化，將a棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ的時(shí)刻記為t=0，此時(shí)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，試求出在a棒通過(guò)磁場(chǎng)Ⅰ的這段時(shí)間里，磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)b棒受力平衡求出電流的大小，通過(guò)閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，從而求出a棒的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出a棒下降的高度．
（2）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，b棒不動(dòng)，根據(jù)能量守恒定律求出整個(gè)過(guò)程克服安培力所做的功．
（3）棒通過(guò)磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)恰好無(wú)感應(yīng)電流，說(shuō)明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，即整個(gè)回路中的磁通量不變．a(chǎn)棒進(jìn)入磁場(chǎng)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，b棒靜止，根據(jù)磁通量不變求出磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系式．

解答：解：（1）因?yàn)閍棒進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ后做減速運(yùn)動(dòng)，所以只要?jiǎng)傔M(jìn)入時(shí)b棒不動(dòng)，b就可以靜止不動(dòng)．對(duì)a棒：由機(jī)械能守恒：mgh₀=

1

2

m₀²，
對(duì)回路：ε=BLv₀，I=

ε

2R

對(duì)b棒：BIL=μmg
聯(lián)立解得：h₀=

2μ2m2gR2

B4L4

（2）由全過(guò)程能量守恒與轉(zhuǎn)化規(guī)律：mgh=μmg2d+W_克A
解得：W_克A=mgh-μmg2d
（3）a棒通過(guò)磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)恰好無(wú)感應(yīng)電流，說(shuō)明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律ε=

△Φ

△t

，在△t≠0的前提下，△Φ=0即Φ保持不變
對(duì)a棒：由機(jī)械能守恒：mgh=

1

2

mv²
a棒進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ后，由牛頓第二定律得：a=μg
經(jīng)過(guò)時(shí)間t，a棒進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ的距離為x=vt-

1

2

at²
磁通量Φ=B₀（d-x）L-B

d

2

L
又最初磁通量為Φ₀=B₀dL-B₀

d

2

L=

1

2

B₀dL=Φ
聯(lián)立解得：B=B₀-

2B0

d

(

2ght

-

1

2

μgt2)．
答：（1）h₀的大小為

2μ2m2gR2

B4L4

．
（2）a棒克服安培力所做的功為mgh-μmg2d．
（3）磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系式B=B₀-

2B0

d

(

2ght

-

1

2

μgt2)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律等，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．