Question

6．如圖，在豎直平面內(nèi)x軸下方有感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場和電場強(qiáng)度為E、豎直向下的勻強(qiáng)電場．一帶電小球從y軸上P（0，h）點(diǎn)以初速度v₀豎直向下拋出．小球穿過x軸后恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．若不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球在x軸下方做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）小球從P點(diǎn)出發(fā)到第三次經(jīng)過x軸所用時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球先做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度位移公式列式求解進(jìn)入電磁場的速度；在電磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和電場力平衡，洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）先確定運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$列式求解．

解答 解：（1）在x軸上方，是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度位移公式，有：
${v^2}-v_0^2=2gh$
解得：$v=\sqrt{v_0^2+2gh}$
設(shè)小球的質(zhì)量為m，因帶電小球在復(fù)合場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故電場力一定與重力平衡，即：
mg=qE，電場力方向豎直向上，
則小球帶負(fù)電；
設(shè)在復(fù)合場中小球的運(yùn)動(dòng)半徑為R，則：
$qvB=m\frac{v^2}{R}$
聯(lián)立解得：R=$\frac{{E\sqrt{2gh+v_0^2}}}{Bg}$
（2）小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

從P到O過程，有：
h=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$
從O到A過程：
${t}_{2}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$
從A向上到返回A點(diǎn)過程，有：
${t}_{3}=\frac{（-v）-v}{-g}$
總時(shí)間：
t=t₁+t₂+t₃
聯(lián)立解得：
t=$\frac{{3\sqrt{v_0^2+2gh}-{v_0}}}{g}+\frac{πE}{gB}$
答：（1）小球在x軸下方做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{{E\sqrt{2gh+v_0^2}}}{Bg}$；
（2）小球從P點(diǎn)出發(fā)到第三次經(jīng)過x軸所用時(shí)間為$\frac{{3\sqrt{v_0^2+2gh}-{v_0}}}{g}+\frac{πE}{gB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，分勻變速直線運(yùn)動(dòng)過程和勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程，要能夠找到向心力來源，根據(jù)牛頓第二定律列式分析，不難．