Question

6．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的坐標系xOy，在其第三象限空間有正交的勻強磁場和勻強電場，勻強磁場沿水平方向且垂直于紙面向外，磁感應強度大小為B，勻強電場沿x輸負方向、場強大小為E．在其第一象限空間有沿y軸負方向的、場強大小為$E'=\frac{4}{3}E$的勻強電場．個電荷量的絕對值為q的油滴從圖中第三象限的P點得到一初速度，恰好能沿PO做直線運動（PO與x軸負方向的夾角為θ=37°），并從原點O進人第一象限．已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計空氣阻力．
（1）判斷油滴的電性；
（2）求油滴在P點得到的初速度大�。�
（3）在第一象限的某個長方形區(qū)域再加上一個垂直于紙面向里的、磁感應強度大小也為B的勻強磁場，且該長方形區(qū)域的下邊界在x軸上，上述油滴進入第一象限后恰好垂直穿過x軸離開第一象限，求這個長方形區(qū)域的最小面積以及油滴在第一象限內(nèi)運動的時間．

Answer 1

分析 （1）油滴在第3象限做勻速直線運動，根據(jù)重力、電場力、洛倫茲力三力方向，油滴受力平衡可判定油滴帶負電；
（2）根據(jù)受力分析，結合平衡條件，依據(jù)力的平行四邊形定則，從而解得速度；
（3）根據(jù)油滴先作勻速直線運動，后做勻速圓周運動，依據(jù)運動學公式與幾何知識畫出運動軌跡，從而求出個長方形區(qū)域的最小面積，再分段求解時間．

解答 解：（1）如果油滴帶正電荷，受力分析如圖一所示．因為要保證垂直速度方向合力為零，油滴一定做減速運動，這時洛侖茲力在變化，導致垂直速度方向的力發(fā)生變化，油滴不可能做直線運動，即油滴不僅垂直速度方向合力為零，沿速度方向合力也為零；如果油滴帶負電荷，如圖二，則能滿足以上分析，所以油滴一定帶負電．
（2）油滴受三個力作用（見圖二），從P到O沿直線必為勻速運動，設油滴質(zhì)量為m：
根據(jù)平衡條件有：qvBsin37°=qE
mgtan37°=qE
綜合前兩式，得：
$v=\frac{5E}{3B}$…①
$m=\frac{4qE}{3g}$…②
（3）進入第一象限，由電場力$qE′=\frac{4}{3}qE$和重力$mg=\frac{4}{3}qE$相等，知油滴先作勻速直線運動，進入磁場區(qū)域后作勻速圓周運動，路徑如三圖，最后從x軸上的N點離開第一象限，圖中紅色長方形區(qū)域為勻強磁場最小面積；設油滴在第一象限內(nèi)運動的時間包括直線運動的時間t₁和圓周運動的時間t₂．
帶電油滴在磁場中運動滿足：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$…③
有①②③解得：$R=\frac{20{E}^{2}}{9g{B}^{2}}$
勻強磁場最小面積：s=R×（R+Rsinθ）=1.6R²=$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$
油滴在第一象限內(nèi)運動的時間包括直線運動的時間t₁=$\frac{R}{vtanθ}$=$\frac{16E}{9gB}$
油滴在第一象限內(nèi)做圓周運動的時間t₂=$\frac{90°+37°}{360°}T$=$\frac{127}{360}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{127πE}{135gB}$
油滴在第一象限內(nèi)運動的總時間：t=t₁+t₂=$\frac{（240+127π）E}{135gB}$
答：（1）油滴帶負電；
（2）油滴在P點得到的初速度大小$v=\frac{5E}{3B}$．
（3）這個長方形區(qū)域的最小面積為$\frac{640{E}^{4}}{81{g}^{2}{B}^{4}}$，油滴在第一象限內(nèi)運動的時間為$\frac{（240+127π）E}{135gB}$．

點評 本題關鍵是先確定物體的運動情況，并畫出運動軌跡，然后逐段逐段分析；勻速運動階段受力平衡，勻速圓周運動階段洛倫茲力提供向心力．