Question

16．在某星球上，宇航員做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：讓質(zhì)量為m=1.0kg的小滑塊以v₀=6m/s的初速度從傾角為θ=53°的斜面AB的頂點(diǎn)A滑下，到達(dá)B點(diǎn)后與垂直斜面的擋板碰撞，不計(jì)碰撞時(shí)的機(jī)械能損失．滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，測得A點(diǎn)離B點(diǎn)所在水平面的高度為h=3m，最終物塊在斜面上通過的路程s=20m．已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，不計(jì)該星球的自轉(zhuǎn)以及其他星球?qū)λ�的作用�?br />（1）求該星球表面的重力加速度g；
（2）若測得該星球的半徑為R=6×10⁶m，則該星球的第一宇宙速度為多大？
（3）取地球半徑R₀=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g₀=10m/s²，求該星球的平均密度與地球的平均密度之比$\frac{ρ}{ρ_0}$．

Answer 1

分析 （1）小滑塊從A到C的過程中，對滑塊進(jìn)行受力分析和做功分析，根據(jù)動(dòng)能定理列方程求得重力加速度；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力、重力等于萬有引力列式，求解探測器的最大速度．
（3）根據(jù)密度公式和黃金代換式GM=gR²，求解星球的平均密度與地球的平均密度之比．

解答 解：（1）小滑塊從A到C的過程中，由動(dòng)能定理得：
mg（h₁-h₂）-μmgcos53°$•\frac{{h}_{1}}{sin53°}$-μmgcos37°$•\frac{{h}_{2}}{sin37°}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代人數(shù)據(jù)解得：g=6m/s²
（2）設(shè)探測器質(zhì)量為m′，探測器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)行最大速度，由牛頓第二定律和萬有引力得：
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m$′\frac{{v}^{2}}{R}$ 
又G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解得：v=$\sqrt{gR}$
代人數(shù)據(jù)解得：v=6km/s
（3）由星球密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$和GM=gR²得該星球的平均密度與地球的平均密度之比$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$=$\frac{g{R}_{0}}{{g}_{0}R}$．
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$=0.64．
答：
（1）該星球表面的重力加速度g為6m/s²；
（2）則探測器運(yùn)行的最大速度為6km/s．
（3）該星球的平均密度與地球的平均密度之比$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$為0.64

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬有引力定律的應(yīng)用；要注意明確萬有引力應(yīng)用主要從萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力和星球表面重力和萬有引力相等兩方面入手分析．