Question

如圖所示，半徑分別為a、b的兩同心虛線(xiàn)圓所圍空間分別存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)，中心O處固定一個(gè)半徑很�。�可忽略）的金屬球，在小圓空間內(nèi)存在沿半徑向內(nèi)的輻向電場(chǎng)，小圓周與金屬球間電勢(shì)差為U，兩圓之間的空間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，設(shè)有一個(gè)帶負(fù)電的粒子從金屬球表面沿+x軸方向以很小的初速度逸出，粒子質(zhì)量為m，電量為q，（不計(jì)粒子重力，忽略粒子初速度）求：
（1）粒子到達(dá)小圓周上時(shí)的速度為多大？
（2）粒子以（1）中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場(chǎng)中，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過(guò)某一臨界值時(shí)，粒子將不能到達(dá)大圓周，求此最小值B．
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度取（2）中最小值，且b=（

2

+1）a，要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn)，粒子需經(jīng)過(guò)多少次回旋？并求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．（設(shè)粒子與金屬球正碰后電量不變且能以原速率原路返回）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，通過(guò)末動(dòng)能求出加速電壓的大�。�
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的表達(dá)式，要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切．
（3）根據(jù)題目給定的條件，畫(huà)出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，從而確定粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)φ=270°，然后沿半徑進(jìn)入電場(chǎng)減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場(chǎng)加速原路返回磁場(chǎng)，如此重復(fù)，恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)回旋后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn)．

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定律得：qU=

1

2

mv2
所以：v=

2qU m

（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：
qBv=m

v2

r

要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切，如圖，
則有：

a2+r2

=b-r
所以：r=

b2-a2

2b

聯(lián)立解得：B =

2b

b2-a2

2mU q

（3）圖中  tanθ=

r

a

=

b2-a2

2ab

=1即θ=45°                    

則粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)φ=270°，然后沿半徑進(jìn)入電場(chǎng)減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場(chǎng)加速原路返回磁場(chǎng)，如此重復(fù)，恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)回旋后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn)．         
因?yàn)?nbsp;   T=

2πm

Bq

將B代入，得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=4×

3

4

T=

3π(b2-a2)

b

m 2qU

答：（1）粒子到達(dá)小圓周上時(shí)的速度為

2qU m

；
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過(guò)某一臨界值時(shí)，粒子將不能到達(dá)大圓周，求此最小值B =

2b

b2-a2

2mU q

；
（3）要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn)，粒子需經(jīng)過(guò)4次回旋；粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

3π(b2-a2)

b

m 2qU

．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子在有圓形邊界的磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，畫(huà)出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．