Question

2．如圖所示，水平光滑地面上停放著一輛質(zhì)量3m的小車，左側(cè)靠在豎直墻壁上，小車上的AB部分為半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧光滑軌道，軌道的最低點B與水平粗糙軌道BC相切，整個軌道處于同一豎直平面內(nèi)．質(zhì)量m的物塊（可視為質(zhì)點）從A點正上方距A點豎直高度3R處靜止下落，恰好落入小車圓弧軌道滑動，然后沿水平軌道滑行．已知物塊與水平軌道BC間的動摩擦因素μ=0.3，重力加速度g，不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時的機械能損失．求：
（1）物塊在小車上運動的最大速度；
（2）物塊到達圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力；
（3）若物塊最終沒有從小車上的軌道滑出，求水平軌道BC的長度L應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）物塊到達B點時的速度最大，由動能定理求解即可；
（2）在軌道最低點，由牛頓第二定律求解軌道的支持力，從而得到對軌道的壓力；
（3）若物塊最終沒有從小車上的軌道滑出，則小車與物塊具有共同的最終速度，由水平方向動量守恒求得最終速度，由能量守恒定律求得水平軌道BC的長度．

解答 解：（1）物塊到達B點時的速度最大，由動能定理得：mg×$3R=\frac{1}{2}$mv²…①
解得，v=$\sqrt{6gR}$…②
（2）在最低點，設(shè)物塊受到的支持力為N，由牛頓第二定律得：N-mg=$\frac{{mv}^{2}}{R}$…③
聯(lián)立②③解得，N=7mg…④
由牛頓第三定律知，物塊到達圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力為7mg
（3）若物塊最終沒有從小車上的軌道滑出，則小車與物塊具有共同的最終速度v′，由水平方向動量守恒得：
mv=（m+3m）v′…⑤
由能量守恒定律得：$μmgL=\frac{1}{2}$${mv}^{2}-\frac{1}{2}（m+3m{）v′}^{2}$…⑥
由⑤⑥解得：L=7.5R
要想不從小車上滑下，則L≥7.5R．
答：（1）物塊在小車上運動的最大速度為$\sqrt{6gR}$；
（2）物塊到達圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力7mg；
（3）若物塊最終沒有從小車上的軌道滑出，求水平軌道BC的長度L應(yīng)滿足的條件為大于等于7.5R．

點評 本題考查知識點較多，為動能定理與其他模型的結(jié)合，對于第（3）問短的求解，應(yīng)用動量守恒定律和和能量守恒比較簡單，沒學(xué)動量守恒定律的可以應(yīng)用牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)方程求解．