Question

13．如圖所示，一質(zhì)量為M的球形容器，在A處與水平面接觸．它的內(nèi)部有一直立的輕彈簧，勁度系數(shù)為k，彈簧下端固定于容器內(nèi)側(cè)底部，上端系一質(zhì)量為m的小球．把小球從彈簧的原長處由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，小球開始在豎直方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)，在此過程中，球形容器一直保持靜止． 求：
（1）小球做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅
（2）小球向下運(yùn)動(dòng)的最大距離
（3）小球做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為多大時(shí)，在其振動(dòng)過程中才可能使球形容器有離開地面的瞬間（已知彈簧一直處于彈性限度內(nèi)）

Answer 1

分析 （1）小球從釋放點(diǎn)到平衡位置的距離就是小球的振幅A．根據(jù)胡克定律求．
（2）根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)關(guān)于平衡位置對稱，可求得小球向下運(yùn)動(dòng)的最大距離等于2A．
（3）最容易發(fā)生在小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，此時(shí)彈簧處于拉伸狀態(tài)，且拉力的大小至少等于容器的重力．根據(jù)胡克定律和平衡位置結(jié)合解答．

解答 解：（1）從釋放點(diǎn)到平衡位置的距離就是小球的振幅，為：A=$\frac{mg}{k}$
（2）根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)關(guān)于平衡位置對稱，可知振子向下運(yùn)動(dòng)的最大距離
  S=2A=$\frac{2mg}{k}$
（3）球形容器要離開地面，最容易發(fā)生在小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，此時(shí)彈簧處于拉伸狀態(tài)，且拉力的大小至少等于容器的重力，即
  F=Mg
則彈簧的伸長量 x₂=$\frac{Mg}{k}$
小球振動(dòng)時(shí)的平衡位置居于彈簧原長下方距離為：x₁=$\frac{mg}{k}$
所以，滿足條件的最小振幅為：A′=x₁+x₂=$\frac{（m+M）g}{k}$
答：
（1）小球做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅是$\frac{mg}{k}$．
（2）小球向下運(yùn)動(dòng)的最大距離是$\frac{2mg}{k}$．
（3）小球做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為$\frac{（m+M）g}{k}$時(shí)，在其振動(dòng)過程中才可能使球形容器有離開地面的瞬間．

點(diǎn)評 對于簡諧運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要抓住對稱性，分析振幅與彈簧形變量的關(guān)系，利用平衡條件和胡克定律結(jié)合研究．