Question

10．如圖，質量為M的小車靜止在光滑水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，BC段是長為L的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點．一質量為m的滑塊在小車上從A點由靜止開始沿軌道滑下，重力加速度為g．
（1）若固定小車，求滑塊運動過程中對小車的最大壓力；
（2）若不固定小車，滑塊仍從A點由靜止下滑，然后滑入BC軌道，最后從C點滑出小車．已知滑塊質量m=$\frac{M}{2}$，在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，滑塊與軌道BC間的動摩擦因數(shù)為μ，求：
①滑塊運動過程中，小車的最大速度大小v_m；
②滑塊從B到C運動過程中，小車的位移大小s．

Answer 1

分析 （1）滑塊在圓弧的軌道上運動的過程中合外力提供向心力，所以滑塊在B點的左側受到的支持力要大于重力，當滑塊到達B時的速度最大，受到的支持力最大，由機械能守恒求出滑塊在B點的速度，然后又牛頓第二定律即可求解；
（2）根據(jù)題意，在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，然后結合機械能守恒即可求出小車的最大速度大小v_m；
在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，寫出速度的關系式，然后結合運動學的公式即可求出小車的位移．

解答 解：（1）當滑塊到達B時的速度最大，受到的支持力最大；當滑塊下滑的過程中機械能守恒，得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
滑塊在B點處受到的支持力與重力的合力提供向心力，得：
$N-mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：N=3mg
由牛頓第三定律得：滑塊對小車的壓力：N′=N=3mg
即滑塊運動過程中對小車的最大壓力是3mg．
（2）①在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，設小車的最大速度是v_m，由機械能守恒得：
$mgR=\frac{1}{2}M{v}_{m}^{2}+\frac{1}{2}m（2{v}_{m}）^{2}$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{gR}{3}}$
②由于在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，所以滑塊從B到C運動過程中，滑塊的平均速度是小車的平均速度的2倍，即：
$\overline{{v}_{滑塊}}=2\overline{{v}_{車}}$
由于它們運動的時間相等，根據(jù)：$x=\overline{v}t$可得：s_滑塊=2s_車
又：s_滑塊+s_車=L
所以：小車的位移大�。簊=$\frac{1}{3}$L
答：（1）若固定小車，求滑塊運動過程中對小車的最大壓力是3mg；
（2）①滑塊運動過程中，小車的最大速度大小是$\sqrt{\frac{gR}{3}}$；②滑塊從B到C運動過程中，小車的位移大小是$\frac{1}{3}L$．

點評 該題的第一問考查機械能守恒與向心力，比較簡單；
第二問主要考查系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對位移，往往根據(jù)平均速度研究．也可以根據(jù)題目提供的特殊的條件：在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，不使用動量守恒定律．