Question

4．如圖是半徑為R的半圓柱形容器的橫截面，在其直徑的兩端沿母線開有狹縫a和b，整個容器處于高真空環(huán)境中．有大量的質量為m、電量為q的正離子以較大的恒定速度v₀從狹縫a源源不斷地沿直徑ab射入容器，接著又從狹縫b穿出．若從某時刻起，容器中出現(xiàn)垂直于紙面向里的從零開始緩慢增強的勻強磁場，于是隨著磁場的出現(xiàn)和增強出現(xiàn)下述現(xiàn)象：一會兒沒有離子從b縫穿出，一會兒又有離子從b縫穿出，而且這種情況不斷地交替出現(xiàn)．若離子在容器中與圓柱面相碰時既沒有電量損失，又沒有動能損失，而與直徑面相碰時便立即被器壁完全吸收．另外由于離子的速度很快，而磁場增加得很慢，可以認為各個離子在容器中運動的過程中磁場沒有發(fā)生變化，同時不計重力的影響．試求：
（1）出現(xiàn)磁場后，第一次從b縫穿出的離子在容器中運動的時間？
（2）出現(xiàn)磁場后，第二次有離子從b縫穿出時磁場的磁感應強度？
（3）離子在容器中運動的最長時間不會超過多少？

Answer 1

分析 （1）出現(xiàn)磁場后，作出第一次從B縫穿出的離子在容器中運動的軌跡圖，根據(jù)幾何關系得出圓周運動的半徑，結合運動學公式求出第一次從b縫穿出的離子在容器中運動的時間．
（2）出現(xiàn)磁場后，作出第二次運動的軌跡圖，結合幾何關系和半徑公式求出磁感應強度的大小．
（3）隨著磁場不斷增強，離子在磁場中運動的軌道半徑$r=\frac{m{v}_{0}}{qB}$愈來愈小，離子在磁場中運動的軌跡愈來愈接近半圓周，每一個軌跡半圓的直徑愈來愈逼近半圓柱形容器內壁的圓弧線．
根據(jù)幾何關系得出軌跡的總長度，從而得出時間的最大值．

解答 解：（1）出現(xiàn)磁場后，第一次從B縫穿出的離子在容器中運動情況如圖所示，即離子與容器內壁碰撞一次就從b縫穿出，離子在磁場中運動的半徑恰為R，運動的時間為半個周期，則：
${t}_{1}=\frac{2πR}{{v}_{0}}×\frac{1}{2}=\frac{πR}{{v}_{0}}$．
（2）出現(xiàn)磁場后，第二次從b縫穿出的離子在容器中運動情況如圖所示，即離子與容器內壁碰撞兩次就從b縫穿出，設離子在磁場中運動的半徑為r，在△aO₂O中，
有：$θ=\frac{π}{6}$，r=Rtanθ=$Rtan\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}R$，
離子在磁場中運動周期為：${T}_{2}=\frac{2πr}{{v}_{0}}$，
由牛頓第二定律得，$q{v}_{0}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
解得${B}_{2}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qR}$．
（3）隨著磁場不斷增強，離子在磁場中運動的軌道半徑$r=\frac{m{v}_{0}}{qB}$愈來愈小，離子在磁場中運動的軌跡愈來愈接近半圓周，每一個軌跡半圓的直徑愈來愈逼近半圓柱形容器內壁的圓弧線．
設共有n個軌跡半圓，每一個軌跡半圓的直徑為d，離子在容器中運動的軌跡總長為S．則
S=$n（π\(zhòng)fracwfkpd6n{2}）=\frac{πnd}{2}＜\frac{{π}^{2}R}{2}$
所以離子在容器中運動的時間最長不會超過：
t=$\frac{s}{{v}_{0}}＜\frac{{π}^{2}R}{2{v}_{0}}$．
答：（1）出現(xiàn)磁場后，第一次從b縫穿出的離子在容器中運動的時間為$\frac{πR}{{v}_{0}}$；
（2）出現(xiàn)磁場后，第二次有離子從b縫穿出時磁場的磁感應強度為$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qR}$；
（3）離子在容器中運動的最長時間不會超過$\frac{{π}^{2}R}{2{v}_{0}}$．

點評 本題考查了帶電粒子在磁場中的運動，關鍵作出軌跡圖，通過半徑公式和周期公式，結合幾何關系進行求解，有一定的難度．