Question

6．人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為m，環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為r，衛(wèi)星距地球表面的高度為h，已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，求：
（1）此衛(wèi)星左勻速圓周運(yùn)動的向心力；
（2）此衛(wèi)星的加速度；
（3）此衛(wèi)星的線速度；
（4）此衛(wèi)星的角速度；
（5）此衛(wèi)星的環(huán)繞周期
（6）什么樣的人造地球衛(wèi)星線速度最大？最大線速度是多少？
（7）什么樣的人造地球衛(wèi)星向心加速度最大？最大加速度是多少？
（8）什么樣的人造地球衛(wèi)星環(huán)繞周期最小？你知道最小周期的具體數(shù)值嗎？

Answer 1

分析 由萬有引力提供向心力列等式：ma=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$=mrω^{2 ₌}mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$分別求得各量的表達(dá)式，從而確定最值條件，求得最值．

解答 解：（1）向心力：F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$
　�。�2）衛(wèi)星的加速度：ma=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$，得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
     （3）萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
     （4）萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mrω²，得ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
     （5）萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，得T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
　�。�6）由v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$知半徑最小的線速度最大，為${v}_{max}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
    （7）由a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$知半徑小最小的加速度最大，為${a}_{max}=\frac{GM}{{R}^{2}}$
    （8）由T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$可知半徑最小的周期最小，則T_min=$π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$  其值約為84分鐘．
答：（1）此衛(wèi)星左勻速圓周運(yùn)動的向心力為$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$
（2）此衛(wèi)星的加速度為$\frac{GM}{{r}^{2}}$
（3）此衛(wèi)星的線速度為$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
（4）此衛(wèi)星的角速度為$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
（5）此衛(wèi)星的環(huán)繞周期為2$π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
（6）半徑最小的人造地球衛(wèi)星線速度最大，最大線速度是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
（7）半徑最小的人造地球衛(wèi)星向心加速度最大，最大加速度是$\frac{GM}{{R}^{2}}$
（8）半徑最小的人造地球衛(wèi)星環(huán)繞周期最小，最小周期的具體數(shù)值為84分鐘．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動靠萬有引力提供向心力．不難．