Question

5．某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽．比賽路徑如圖所示，賽車從起點A出發(fā)，沿水平直線軌道運動L后，由B點進入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運動到C點，并能越過壕溝．已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.5W工作，進入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運動中受到的阻力均可不計．圖中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，s=1.50m．問要使賽車完成比賽，
（1）在豎直圓軌道最高點速度至少為多大？
（2）在豎直圓軌道最低點B賽車對軌道壓力至少為多大？
（3）電動機至少工作多長時間？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）賽車剛好到達豎直圓軌道最高點時，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求賽車通過圓軌道最高點的最小速度．
（2）豎直圓軌道是光滑的，由動能定理求出小球通過B點的最小速度，再由牛頓定律求在豎直圓軌道最低點B賽車對軌道壓力的最小值．
（3）通過平拋運動的規(guī)律求出賽車通過B點的速度，從而確定通過B點的最小速度，根據(jù)動能定理求出要使賽車完成比賽，電動機至少工作的時間．

解答 解：（1）設(shè)賽車恰好到達最高點時速度為v′₁．根據(jù)牛頓第二定律得，mg=m$\frac{{v}_{1}^{′2}}{R}$，則得 v′₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.32}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s
所以賽車在豎直圓軌道最高點速度至少為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s．
（2）賽車從B到豎直圓軌道最高點的過程，根據(jù)動能定理得
-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得，賽車要通過圓軌道最高點到達B點的速度至少為 v₁=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.32}$=4m/s
在B點，由牛頓第二定律得
    N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立得 N=6mg=6×0.1×10=6N
由牛頓第三定律得知，在豎直圓軌道最低點B賽車對軌道壓力至少為 N′=N=6N
（3）賽車恰好能越過壕溝時，根據(jù)平拋運動規(guī)律有
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$=0.5s
則平拋運動的初速度 v₂=$\frac{s}{t}$=$\frac{1.5}{0.5}$=3m/s．
綜上，為保證越過壕溝，到達B點的速度至少為 v₁=4m/s
因此賽車到達B點的速度至少為：v=v₁=4m/s
從A到B對賽車用動能定理：
    Pt′-fL=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得 t′=2.54s
答：
（1）在豎直圓軌道最高點速度至少為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s．
（2）在豎直圓軌道最低點B賽車對軌道壓力至少為4m/s．
（3）電動機至少工作2.54s時間．

點評 解決本題的關(guān)鍵要把握圓周運動最高點的臨界條件：重力等于向心力．掌握平拋運動的規(guī)律，在已知水平距離和下落高度時，要求得平拋運動的初速度．