Question

20．物體在空氣中運動會受到空氣的阻力作用，科學(xué)研究發(fā)觀，物體在空氣中運動時所受空氣阻力與運動速率成正比關(guān)系．滿足F₁=kv，k為比例系數(shù)，v為運動的瞬時速率，阻力的方向與速度方向相反．在離地面高為H處，將質(zhì)量為m的小球水平拋出，從拋出點以水平向右的初速度v₀開始運動，已知小球在著地前已經(jīng)豎直向下做勻速運動，重力加速度為g求：
（1）若小球在拋出點運動的加速度大小為a，則空氣阻力比例系數(shù)k的大��；
（2）小球從拋出到著地過程中機(jī)械能的變化．

Answer 1

分析 （1）先求出小球在拋出點受到的合力大小，再利用牛頓第二定律列式，求出空氣阻力比例系數(shù)k的大��；
（2先計算小球在拋出點的機(jī)械能，再利用小球在著地前已經(jīng)豎直向下做勻速運動求出小球落地時的速度，計算出小球落地時的機(jī)械能，最后求出小球從拋出到著地過程中機(jī)械能的變化．

解答 解：（1）小球在拋出點受到水平向左的空氣阻力，大小為：F₁=kv₀
受到豎直向下的重力為：G=mg
則小球在拋出點受到的合力為：F=$\sqrt{{F}_{1}^{2}+{G}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}{v}_{0}^{2}+{m}^{2}{g}^{2}}$
由牛頓第二定律有：F=ma
解得：k=$\frac{m}{{v}_{0}}\sqrt{{a}^{2}-{g}^{2}}$；
（1）小球在拋出點的重力勢能為：E_p=mgH，動能為：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
則小球在拋出點的機(jī)械能為：$E={E}_{p}+{E}_{k}=mgH+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球在著地前已經(jīng)豎直向下做勻速運動，則受到的空氣阻力為：kv=mg
解得落地時的速度為：v=$\frac{mg}{k}$
小球落地時的動能為：${E}_{k}^{′}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$，重力勢能為0
則落地時機(jī)械能為：${E}^{′}=\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$
故小球從拋出到著地過程中機(jī)械能的變化為：△E=E′-E=$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}-mgH-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）若小球在拋出點運動的加速度大小為a，則空氣阻力比例系數(shù)k的大小為$\frac{m}{{v}_{0}}\sqrt{{a}^{2}-{g}^{2}}$；
（2）小球從拋出到著地過程中機(jī)械能的變化為$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}-mgH-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$．

點評 解答本題的關(guān)鍵是掌握牛頓第二定律的應(yīng)用以及動能和重力勢能的計算，機(jī)械能是動能和重力勢能之和．