Question

如圖所示，有一與地面平行的、沿水平方向的有界勻強磁場，磁場區(qū)域高度為h，有一寬度為 b（b<h）、電阻為R、質(zhì)量為m的矩形金屬線框（導(dǎo)線粗細均勻），緊貼磁場區(qū)域的上邊界從靜止起豎直下落，結(jié)果線框下邊剛出磁場下邊界時，線框就做勻速運動。已知線框穿出磁場過程產(chǎn)生的熱量是穿入磁場過程產(chǎn)生熱量的2倍。重力加速度為g，求：

（1）線框勻速穿出磁場時的速度大�。�

（2）線框穿出磁場過程中，線框中感應(yīng)電流大��；

（3）線框下落速度時，線框的加速度大��；

（4）換用相同材料的導(dǎo)線較粗的線框，其它條件均不變，試描述線框穿出磁場過程的運動情況，并比較粗、細兩個線框穿越整個磁場過程產(chǎn)生熱量的大小關(guān)系。

Answer 1

（1）由題意，線框勻速穿出磁場區(qū)域，設(shè)穿出時產(chǎn)生的熱量為Q₂，由動能定理得：

        （1分）

設(shè)線框穿入時產(chǎn)生的熱量為Q₁，由題意有：  

設(shè)線框穿出磁場時的速度大小為v_m，對線框由靜止到剛要離開磁場區(qū)域過程，由動能定理可得：

          （2分）

解得：                        （2分）

（2）設(shè)磁場的磁感應(yīng)強度為B，線框切割磁感線的長度為l。

線框勻速穿出時，由平衡條件可得：

                                  （1分）

又由：                       （1分）

即：                        

將代入上式得：   （1分）

代入上式得：         （2分）

（3）設(shè)線框恰好完全進入磁場時的速度為v₁，對線框由恰好完全進入磁場到剛要穿出磁場過程研究，線框只受重力作用，由動能定理可得：

可得：，說明當(dāng)時，線框還未完全進入磁場。  （2分）

對線框由牛頓第二定律得：

     （1分）

代入得：                      （2分）

（4）換用相同材料的導(dǎo)線較粗的線框時，唯一不同的是兩線框?qū)Ь�橫截面積s的不同，若能說明線框的速度與s無關(guān)，便可知道線框的運動情況跟原來的完全相同。

當(dāng)線框進入磁場后速度為v時，對線框研究，由牛頓第二定律得：

加速度：                              （1分）

設(shè)導(dǎo)線的電阻率為，密度為，線框總長度為L，則有：

                             （1分）

可見，此時加速度a與導(dǎo)線橫截面積s無關(guān)，由此類推，便可知速度v與導(dǎo)線橫截面積s無關(guān)。故粗線框穿出磁場過程也是勻速運動，速度大小也為。  （2分）

設(shè)全過程線框產(chǎn)生的熱量為Q，取線框從靜止開始到完全離開磁場過程研究，由動能定理得：

可得：

   （2分）

由上式可得：線框穿越整個磁場過程產(chǎn)生的熱量與導(dǎo)線橫截面積s有關(guān)且成正比，而上式的其他物理量均與線框粗細無關(guān)，因此粗線框產(chǎn)生的熱量大于細線框產(chǎn)生的熱量。   （1分）