Question

15．如圖所示，在豎直面內(nèi)邊界線OA的兩側(cè)存在方向相反的勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同．已知OA與豎直線OC夾角為60°，B點(diǎn)為∠COA平分線上的點(diǎn)且OA=$\sqrt{3}$L，OB=L．一帶正電的粒子質(zhì)量為m，電量為q，從O點(diǎn)沿OC以初速度v₀射入磁場(chǎng)，粒子恰好經(jīng)過邊界上的A點(diǎn)．撤去磁場(chǎng)加上與OAB在同一豎直面內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子仍以速度v₀從O點(diǎn)沿OC射入時(shí)，粒子經(jīng)過B點(diǎn)；若速度大小不變，改變粒子從O點(diǎn)射入的方向，粒子在電場(chǎng)中經(jīng)過A點(diǎn)，且速度大小為$\sqrt{10}$v₀，已知粒子從O到A動(dòng)能的增加量是離子從O到B動(dòng)能增加量的3倍．求：
（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度B的可能值；
（2）O、A兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）粒子在方向相反的磁場(chǎng)中做順、逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系若旋轉(zhuǎn)整數(shù)次，恰能通過A點(diǎn)，由幾何關(guān)系找出OA=n 2Rsin60°，從而由洛侖茲力提供向心力就能求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的可能值．
（2）由動(dòng)能定理及題設(shè)條件的末速度就能求出OA兩點(diǎn)的電勢(shì)差．
（3）由題設(shè)條件及動(dòng)能定理，當(dāng)入射方向改變時(shí)，從而始末兩點(diǎn)OB電勢(shì)差，再由電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度關(guān)系，從而求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小．

解答 解：（1）帶電粒子在下半部磁場(chǎng)中做一次勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
每偏轉(zhuǎn)一次沿OA方向移動(dòng)2Rsin60°，若經(jīng)過n次恰通過A點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知：
    n（2Rsin60°）=$\sqrt{3}L$
 由洛倫茲力提供向心力：$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$  （n=1、2、3…）
（2）根據(jù)動(dòng)能定理：qU_OA=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：U_OA=$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$
（3）根據(jù)動(dòng)能定理：qU_OB=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
因$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=3×（$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$）
故U_OA=3U_OB
根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系可知，將OA分為相等的3段，若OD=$\frac{1}{3}OA$=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$，則D、B等電勢(shì)
由余弦定理可知DB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$
故等勢(shì)面DB∥OC，故場(chǎng)強(qiáng)方向水平向右
U_OA=E×$\sqrt{3}Lsin60°$
解得：E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$
答：（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度B的可能值為$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$（n=1、2、3…）．
（2）O、A兩點(diǎn)間的電勢(shì)差是$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$．
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的大小為$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$，方向水平向右．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在第三問，變化之處有兩點(diǎn)：先是將勻強(qiáng)磁場(chǎng)改為勻強(qiáng)電場(chǎng)，這樣粒子通過A點(diǎn)的合位移為$\sqrt{3}L$，后是又改變了粒子的入射方向，同樣已知粒子的合位移大小為L，由此可知末速度的關(guān)系，由動(dòng)能定理及電勢(shì)差與場(chǎng)強(qiáng)關(guān)系就能求出電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向．