Question

1．如圖所示，在無限長(zhǎng)的水平邊界AB和CD間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，同時(shí)在AEFC、BEFD區(qū)域分別存在水平向里和向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同，EF為左右磁場(chǎng)的分界線．AB邊界上的P點(diǎn)到邊界EF的距離為（2+$\sqrt{3}$）L．一帶正電微粒從P點(diǎn)的正上方的O點(diǎn)由靜止釋放，從P點(diǎn)垂直AB邊界進(jìn)入電、磁場(chǎng)區(qū)域，且恰好不從AB邊界飛出電、磁場(chǎng)．已知微粒在電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，重力加速度大小為g，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E（E未知）和磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B（B未知）滿足$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，不考慮空氣阻力，求：
（1）O點(diǎn)距離P點(diǎn)的高度h多大；
（2）若微粒從O點(diǎn)以v₀=$\sqrt{3gL}$水平向左平拋，且恰好垂直下邊界CD射出電、磁場(chǎng)，則微粒在電、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）微粒在進(jìn)入電磁場(chǎng)前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律與動(dòng)能定理可以求出O到P的距離．
（2）微粒在進(jìn)入電磁場(chǎng)前做平拋運(yùn)動(dòng)，在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出微粒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）微粒在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
洛倫茲力提供向心力，重力與電場(chǎng)力合力為零，則：qE=mg，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由幾何知識(shí)可得：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，r₁+r₁sinθ=（2+$\sqrt{3}$）L，
解得：r₁=2L，
微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
由動(dòng)能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
已知：$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，
解得：h=$\frac{1}{2}$L；
（2）微粒在進(jìn)入電磁場(chǎng)前做平拋運(yùn)動(dòng)，
x₁=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}$gt₁²，
代入數(shù)據(jù)解得：t₁=$\sqrt{\frac{L}{g}}$，x₁=$\sqrt{3}$L，
微粒在M點(diǎn)的豎直分速度：v₁=$\sqrt{gL}$，
速度：v=2$\sqrt{gL}$，速度與AB夾角：θ=30°，
微粒運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
微粒軌道半徑：r₂=4L，由幾何知識(shí)可知，微從M點(diǎn)粒偏轉(zhuǎn)30°垂直打在EF邊界上，
微粒在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2π{r}_{2}}{v}$=4π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，
由題意可知，微粒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁′+t₂′=$\frac{30°}{360°}$T+$\frac{1}{2}$kT+$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{12}$T+$\frac{1}{2}$kT+$\frac{1}{4}$T（k=0、1、2、…）
解得：t=2π（$\frac{2}{3}$+k）$\sqrt{\frac{L}{g}}$   （k=0、1、2、3、…）；
答：（1）O點(diǎn)距離P點(diǎn)的高度h為$\frac{1}{2}$L；
（2）微粒在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為2π（$\frac{2}{3}$+k）$\sqrt{\frac{L}{g}}$（k=0、1、2、3、…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求距離、微粒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題，分析清楚微粒運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題．