Question

宇航員在月球表面完成下面的實驗：在一固定的豎直光滑圓軌道內(nèi)部最低點靜止一個質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點），如圖所示，當(dāng)施給小球一瞬間速度v時，剛好能使小球在豎直平面內(nèi)做完全的圓周運動，已知圓弧軌道半徑為r，月球的半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為多大？
（2）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期為多大？

Answer 1

分析：（1）結(jié)合機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求出月球表面的重力加速度大小，根據(jù)月球表面的萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力求出最小的發(fā)射速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期．

解答：解：設(shè)月球表面的重力加速度為g，小球在最高點的速度為v₁
小球從最低點到最高點的過程中機(jī)械能守恒：

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 1

+mg?2r
小球剛好做完整的圓周運動，在最高點有：mg=m

v 2 1

r

由以上兩式可得：g=

v2

5r

（1）若在月球表面發(fā)射一顆衛(wèi)星，則重力必須提供向心力，則有：mg=m

v 2 2

R

故最小發(fā)射速度v2=

gR

=

v2R 5r

（2）若衛(wèi)星在半徑為2R的軌道上，

GMm

(2R)2

=m?2R?

4π2

T2

其中g=

GM

R2

   由以上幾式可得：T=

4π 10Rr

v

答：（1）最小發(fā)射速度為

v2R 5r

．
（2）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期為

4π 10Rr

v

．

點評：本題為萬有引力理論與機(jī)械能守恒和牛頓第二定律的綜合，掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．